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From Gauß to Painlevé. A modern theory of special functions. Dedicated to Tosihusa Kimura on the occasion of his sixtieth birthday. (English) Zbl 0743.34014
Aspects of Mathematics, E. 16. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn. x, 347 p. (1991).

Viele spezielle Funktionen und insbesondere die in der mathematischen Physik relevanten sind Lösungen linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit rationalen Koeffizienten, wie sie etwa bei Trennung der Variablen aus der Wellengleichung hervorgehen. Erster bedeutender Beitrag war die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung durch Gauß, dem Untersuchungen der Königsberger Schule (Bessel, Jacobi) folgten. Systematisch untersucht wurde die Klase dieser Differentialgleichungen — ohne Beschränkung auf zweite Ordnung — von I. L. Fuchs und seiner Berliner Arbeitsgruppe. Sie setzten komplexe Methoden der inzwischen voll entwickelten Funktionentheorie ein und schufen damit die Grundlage zur adäquaten Behandlung auch allgemeinerer Differentialgleichungen.

Einfache aber wichtige Beispiele für algebraische Differentialgleichungen sind die Riccatische Gleichung und die Gleichung der Weierstraßschen -Funktion. Es gibt spezielle Funktionen, etwa die Gammafunktion, die keiner algebraischen Differentialgleichung genügen. Spezielle algebraische Gleichungen sind die rationalen, zu denen die sechs Painlevéschen Gleichungen gehören, deren Lösungen die Painlevéschen Transzendenten sind. Bei ihnen handelt es sich um explizite nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung, deren rechte Seiten algebraisch in der Variablen, der Unbekannten und ihrer ersten Ableitung sind. Jede Gleichung dieses Typs, die keine beweglichen Singularitäten hat, kann in eine lineare Differentialgleichung, in eine durch Quadraturen lösbare, oder in eine der sechs Painlevéschen Gleichungen transformiert werden. Dieses Resultat stammt von Painlevé, seinem Schüler Gambier und Richard Fuchs. In den klassischen Lehrbüchern über Differentialgleichungen im Komplexen (Bieberbach, Coddington-Levinson, Golubew, Hille, Ince) wird hierüber, wenn überhaupt, nur kurz und exemplarisch berichtet. Das mag daran liegen, daß aufwendige Überlegungen zugrunde liegen. Außerdem steht dieses Painlevésche Resultat noch isoliert da. Für keine rationalen Differentialgleichungen von höherer als zweiter Ordnung gibt es nämlich bisher eine vollständige Klassifikation.

In dem vorliegenden Werk über rationale Differentialgleichungen zweiter Ordnung, in dessen erstem Drittel die hypergeometrische Differentialgleichung nicht um ihrer selbst willen, sondern als einfacheres, die Problematik aufzeigendes Beispiel dargestellt wird, schließt sich in natürlicher Weise die Behandlung der Painlevéschen Gleichungen an. Daß dies unter dem Aspekt “spezielle Funktionen” geschieht, ist eher eine Option. Die Verfasser glauben, daß die Painlevéschen Transzendenten in Zukunft eine wichtige Rolle sowohl in der Mathematik als auch in der Physik spielen werden, auch wenn sich bisher hierfür nur einige pyhsikalische Anwendungen in der Quantenfeldtheorie und bei nichtlinearen Evolutionsgleichungen in der theoretischen Physik anführen lassen. Mit den üblichen Grundkenntnissen von gewöhnlichen Differentialgleichungen, aus Funktionentheorie und in Gruppentheorie ausgestattet, kann jeder sich von der Schönheit und Eleganz der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichung mit singulären Stellen in den Bann ziehen lassen. Die moderne Darstellung ist nicht nur geeignet, Anfängern eine interessante Thematik zu erschließen, sondern gibt auch eine umfassende Abhandlung bis zu neuesten Resultaten. Allerdings ist es ein anspruchsvoller Text, den man sich erarbeiten muß. Auch soll man sich durch den Untertitel nicht dazu verleiten lassen, ein Werk über spezielle Funktionen im herkömmlichen Sinne zu erwarten. Im Blickpunkt stehen die Painlevéschen Differentialgleichungen, während die Vielfalt der mit den linearen Gleichungen zusammenhängenden klassischen speziellen Funktionen kein Gegenstand der Untersuchung sind.

Nach einer Einführung der Theorie der Painlevéschen Gleichungen auf klassische Art wird sie im Rahmen der monodromieerhaltenden Deformationen dargestellt (Kapitel 3). Das Garniersche System einer Fuchsschen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit mehr als drei Singularitäten ist ein Hamilton-System, das die Deformationen der Differentialgleichung bestimmt. Der Zusammenhang des Garnier-Systems mit dem Schlesinger- System, das die monodromieerhaltenden Deformationen von Schlesingerschen Matrixgleichungen widerspiegelt, ermöglicht die Überführung des Garnier-Systems in ein polynomiales Hamiltonsches, das von beweglichen Singularitäten (Verzweigungspunkten) frei ist. Methoden zur Konstruktion von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen in der Nähe von regulären singulären Stellen werden (Kapitel 4) für Gleichungen erster Ordnung und für die Painlevéschen Gleichungen entwickelt. Die unterschiedliche Behandlung ist nötig, da für die Painlevéschen Gleichungen die Poincaré-Bedingung verletzt ist.

Das umfangreiche Literaturverzeichnis führt schwerpunktmäßig neuere Arbeiten auf. In zwei Dritteln stammen sie von japanischen Autoren, und die Autoren dieses Werkes haben großen Anteil daran. Primärliteratur wird nur im Hinblick auf die Painlevéschen Gleichungen aufgeführt. Nicht angegeben sind das Werk von I. L. Fuchs und etwa die einschlägigen Arbeiten von C. F. Gauß, F. G. Frobenius und E. E. Kummer.

Ein wohlgelungenes, anspruchsvolles, in sich abgeschlossenes Werk, zum Selbststudium sowie als Grundlage für Spezialvorlesungen und Seminare bestens geeignet.


MSC:
34M55Painlevé and other special equations; classification, hierarchies
34-02Research monographs (ordinary differential equations)
33-02Research monographs (special functions)