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Measures of noncompactness and condensing operators. Transl. from the Russian by A. Iacob. (English) Zbl 0748.47045
Operator Theory: Advances and Applications. 55. Basel etc.: Birkhäuser. viii, 249 p. (1992).

Bei dem vorliegenden Buch handelt es sich um die englische Übersetzung des russischen Orignals, welches 1986 bei Nauka in Novosibirsk erschienen ist (Zbl 0623.47070). Ein Nichtkompaktheitsmaß α ist eine numerische Charakteristik, die angibt, “wie weit eine gegebene beschränkte Teilmenge M eines Banachraums X davon entfernt ist”, relativkompakt zu sein. Klassische Beispiele sind das Kuratowskische Nichtkompaktheitsmaß

α(M)=inf{d:d>0,MbesitzteineendlicheÜberdeckungmitMengenvomDurchmesserd}

und das Hausdorffsche Nichtkompaktheitsmaß

α(M)=inf{r:r>0,MbesitzteineendlicheÜberdeckungmitKugelnvomRadiusr}·

Kondensierende (nichtlineare) Operatoren A in X sind nun solche, die das Nichtkompaktheitsmaß jeder Menge verkleinern, d.h. α(A(M))qα(M) für ein q<1; salopp gesprochen, macht ein solcher Operator jede Menge “ein bißchen kompakter”. Ein wichtiger Fixpunktsatz von G. Darbo [Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 24, 84-92 (1955; Zbl 0064.357)] besagt, daß ein kondensierender stetiger Operator, der eine nichtleere konvexe abgeschlossene beschränkte Menge in einem Banachraum invariant läßt, in dieser Menge einen Fixpunkt besitzt. Da sowohl kontrahierende als auch kompakte Operatoren kondensierend sind, schlägt dieser Satz sozusagen eine Brücke zwischen den klassischen Fixpunktsätzen von Banach und Schauder.

In den vergangenen 30 Jahren entstand eine umfangreiche Literatur zu diesem Thema; hierher gehören u.a. die Namen M. Furi, A. Vignoli, J. Daneš und R. D. Nussbaum (der in der Aufzählung im Vorwort merkwürdigerweise fehlt). Bekannt sind vor allem der inzwischen klassische Übersichtsartikel von B. N. Sadovskij [Usp. Mat. Nauk 27, No. 1, 81-146 (1972; Zbl 0243.47033)] sowie der neuere Übersichtsartikel der Autoren des vorliegenden Buchs [Itogi Nauki Tekhniki 18, 185-254 (1980; Zbl 0443.47056)]. Seitdem hat sich insbesondere im Hinblick auf Anwendungen kondensierender Operatoren eine Menge getan, was eine allgemeine Verbreitung des Themas sinnvoll erscheinen läßt.

Diese Aufgabe erüllt das vorliegende Buch. Es besteht aus 4 Kapiteln annähernd gleichen Umfangs. Das erste Kapitel ist der Definition und Untersuchung von Nichtkompaktheitsmaßen und kondensierenden Operatoren gewidmet. Im zweiten Kapitel wird die lineare Theorie behandelt, insbesondere Zusammenhänge zwischen Nichtkompaktheitsmaßen und Spektraleigenschaften linearer Operatoren. Nichtlineare kondensierende Operatoren sind Gegenstand des dritten Kapitels, vor allem der Index (Abbildungsgrad) und das Fixpunktverhalten solcher Operatoren. Am interessantesten erschien dem Rezensenten das vierte Kapitel (“Applications”), weil die hier vorgestellten Ergebnisse bisher nur über Zeitschriften-Artikel verstreut waren und nun erstmals in Buchform vorliegen. Besonders hervorzuheben sind hierbei Funktional- Differentialgleichungen (z.B. neutralen Typs), die wegen des Fehlens kompakter Resolventen gerade sehr gute Beispiele für die Anwendbarkeit kondensierender Operatoren liefern.

Das Buch dürfte für alle Spezialisten von Nutzen sein, die sich für die Nichtlineare Analysis und ihre Anwendungen interessieren. Es ist sehr klar geschrieben und gegliedert und enthält erfreulich viele historische Bemerkungen. Natürlich enthält es auch mehrere irreführende Druckfehler (z.B. muß es auf S. 60 in (1) sicher “inf” statt “sup” heißen), ebenso kleinere mathematische Fehler (z.B. ist die auf S. 221 eingeführte Norm auf dem Raum S gar keine Norm). Richtig ärgerlich ist aber nur der Preis, der für ein in TeX gesetztes Buch eindeutig zu hoch ist.

MSC:
47HxxNonlinear operators and their properties
47-02Research monographs (operator theory)