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An arithmetic-geometric method in the study of the subgroups of the modular group. (English) Zbl 0758.11024

Eine Untergruppe U von endlichem Index in der Modulgruppe Γ=PSL(2,) hat als Fundamentalbereich F ein nichteuklidisches Polygon, das aus [Γ:U] Dreiecken besteht, die zum Standardfundamentalbereich (in der Regel das Dreieck mit den Ecken ρ=1 2+i 23,,-ρ ¯) kongruent sind. Für jeden solchen Fundamentalbereich bilden die Transformationen aus U, die F auf einen Nachbarbereich abbilden (d.h., die eine Seite von F wieder auf eine Seite von F abbilden) ein Erzeugendensystem von U, das natürlich von der Auswahl von F abhängt. Verf. präsentiert eine neue interessante Methode zur Gestaltung von F.

Er zeigt, daß F immer in Form eines von ihm als “spezielles Polygon” bezeichneten Bereiches gewählt werden kann (und umgekehrt, daß jedes “spezielle Polygon”, bei dessen Definition auch die Seitenzuordnungen festgelegt werden, Fundamentalbereich einer Untergruppe von Γ ist) und daß das zugehörige Erzeugendensystem ein freies Erzeugendensystem von U ist, d.h., U ist freies Produkt der von diesen Erzeugenden erzeugten zyklischen Untergruppen (als Ordnungen der Erzeugenden können 2,3, auftreten). Als Standardfundamentalbereich von Γ fungiert das Dreieck mit den Ecken ρ, , 0 (die Nachbartransformationen sind T:z-1/2, die die Seite (,0) auf sich abbildet und S:(z-ρ)/(z-ρ ¯)e 2πi/3 (z-ρ)/(z-ρ ¯), die (ρ,) auf (ρ,0) abbildet, woraus Γ=S*T folgt).

Ein spezielles Polygon ist ein konvexes Polygon endlichen nichteuklidischen Inhalts mit einer Einteilung der Seiten in Paare, das nur Seiten kongruent modΓ zu (,0) (die paarweise aufeinander bezogen sind, wobei als Ausartung eine derartige Seite auf sich selbst bezogen sein kann) und Seitenpaare kongruent modΓ zu dem Paar (ρ,), (ρ,0) hat, und das außerdem 0, als Eckpunkte besitzt. Die Spitzen eines speziellen Polygons P, d.h., die Eckpunkte auf {}, bilden eine Folge , x 0 <x 1 <<x n , mit x 0 ,x n , die den Punkt 0 enthält und für die außerdem |a i b i+1 -a i+1 b i |=1 (bei x i =a i /b i als gekürzter Bruch) gilt. Verf. bezeichnet eine derartige Folge als verallgemeinerte Farey-Folge. P liefert außerdem eine Markierung der Intervalle (x i ,x i+1 ), bei der (x i ,x i+1 ) als ungerades Intervall bezeichnet wird, wenn x i ,x i+1 die 0, entsprechenden Eckpunkte eines modΓ zu (ρ,), (ρ,0) kongruenten Seitenpaares sind, als gerades Intervall, wenn die Seite (x i ,x i+1 ) zu (,0)modΓ kongruent ist und sich selbst zugeordnet ist, und die restlichen Intervalle zu Paaren entsprechend der Seitenzuordnung bei P zusammengefaßt sind. Eine verallgemeinerte Farey-Folge mit einer solchen Markierung bezeichnet der Verf. als Farey-Symbol. Er zeigt, daß umgekehrt jedes Farey-Symbol ein “spezielles Polygon” und damit eine Untergruppe von Γ mit einem freien Erzeugendensystem liefert. Verf. stellt weiter Beziehungen zu einem Baumdiagramm sowie speziellen Graphen und zu Kettenbrüchen her und bringt Anwendungen und explizite Beispiele.


MSC:
11F06Structure of modular groups and generalizations
11B57Farey sequences; the sequences 1 k ,2 k ,
20F05Generators, relations, and presentations of groups