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The Yamabe problem on manifolds with boundary. (English) Zbl 0771.53017

L’auteur étudie le problème de Cherrier pour les variétés Riemanniennes \((M,g)\) compactes à bord de dimension \(n \geq 3\). L’auteur établit l’existence d’une métrique conforme à \(g\) pour laquelle la courbure scalaire de \(M\) est constante et la courbure moyenne du bord \(\partial M\) est nulle dans les cas suivants: 1) \(n = 3,4\) ou 5; 2) \(\partial M\) contient un point que n’est pas ombilic; 3) \(\partial M\) est totalement ombilic et ou bien \(M\) est localement conformément plate ou bien \(n \geq 6\) et le tenseur de Weyl de \(M\) est identiquement nul sur \(\partial M\). Il s’agit de résoudre l’équation de Yamabe dans \(M\) avec une condition linéaire de type Neumann à la frontière. Utilisant la méthode de Cherrier, l’auteur montre que, sous les hypothèses précitées, un invariant conforme défini comme borne inférieure d’un quotient de Sobolev \(Q(\varphi)\), \(\varphi \in C^ 1(M)\), est strictement inférieur à celui de l’hémisphère. Pour ce faire, il lui faut évaluer avec grande précision \(Q(\varphi)\) pour des fonctions du type de celles d’Aubin au voisinage d’un point de \(\partial M\) qui, selon les cas, sont modifiés en introduisant une dissymétrie et, suivant Schoen, sont éventuellement prolongées à l’aide de la fonction de Green \(G\) du Laplacien conforme pour des conditions de Neumann. La question cruciale du signe du terme constant du développement de \(G\) conduit l’auteur à prouver une version à bord du théorème de la masse positive.
Reviewer: T.Aubin (Paris)

MSC:

53C20 Global Riemannian geometry, including pinching
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