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Diophantine approximation and algebraic independence of logarithms. (Approximation diophantienne et indépendance algébrique de logarithmes.) (French) Zbl 0895.11030

In der vorliegenden Arbeit stellen Verff. einen neuartigen Zugang zur algebraischen Unabhängigkeit bei kleinen Transzendenzgraden vor. Statt des üblichen Gel’fondschen Kriteriums verwenden sie ein neues Resultat über diophantische Approximationen, das frühere Ergebnisse von E. Wirsing [J. Reine Angew. Math. 206, 67-77 (1961; Zbl 0097.03503)] und A. Durand [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 287, 595-597 (1978; Zbl 0389.10028)] ergänzt. Dieses Resultat garantiert die Existenz guter algebraischer Approximationen an Familien von Zahlen aus einem Teilkörper von vom Transzendenzgrad 1 über . Mittels dieses Resultats geben Verff. in Fortführung ihrer Note [D. Roy und M. Waldschmidt, Proc. Jap. Acad., Ser. A 71, 151-153 (1995; Zbl 0860.11040)] in der vorliegenden Arbeit Beweise für algebraische Unabhängigkeit, die sich letztlich auf die von M. Laurent [Astérisque 198/200, 209-230 (1991; Zbl 0762.11027)] eingeführte Technik der Interpolationsdeterminanten stützt.

Das Hauptresultat, das Verff. mit ihrer Methode beweisen, ist völlig neuartig und kann hier aufgrund des zu seiner Formulierung nötigen umfangreichen Begriffsapparates nicht reproduziert werden. Eine Folgerung aus diesem Hauptresultat sei zitiert: Sind logα 1 ,...,logα n über linear unabhängige Logarithmen nichtverschwindender algebraischer Zahlen, die einen Körper vom Transzendenzgrad 1 über erzeugen, so gilt q(logα 1 ,...,logα n )0 für jede quadratische Form q[X 1 ,...,X n ]{0}.

Verff. haben die vorliegende Studie inzwischen im Ramanujan J. 1, 379-430 (1997; Zbl 0916.11042) fortgesetzt.


MSC:
11J85Algebraic independence; Gel’fond’s method