zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
Nonlinear accretive and pseudo-contractive operator equations in Banach spaces. (English) Zbl 0901.47037

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist das folgende Theorem (Theorem 1):

“Suppose E is an arbitrary real Banach space and K is a closed convex subset E. Let T:KK be a Lipschitz strong pseudo-contraction mapping. Let (α n ) and (β n ) be real sequences satisfying the following conditions:

(i) 0β n , α n <1 (n=0,1,2,),

(ii) lim n α n =0; lim n β n =0,

(iii) n=0 α n =+.

Then the sequence (x n ) generated from an arbitrary x 0 K by (the Ishikawa iteration process)

y n =(1-β n )x n +β n Tx n ,x n+1 =(1-α n )x n +α n Ty n

(n=0,1,2,) converges strongly to the (unique) fixed point of T.”

Dieses Theorem verallgemeinert frühere Ergebnisse anderer Autoren, speziell ein Ergebnis von L. Liu [Proc. Am. Math. Soc. 125, No. 5, 1363-1366 (1997; Zbl 0870.47039)]. Dabei heißt eine Abbildung T aus E nach E stark pseudo-kontraktiv (strong pseudo-contraction), wenn es für alle x, y aus dem Definitionsbereich von T ein Element j(x-y)J(x-y) gibt (J(·) bezeichne die normierte Dualitätsabbildung von E nach 2 E * ) sowie ein t>1 existiert, so daß die Ungleichung Tx-Ty,j(x-y)1 tx-y 2 gilt (·,· ist die zugrundeliegende Dualität). Außer Folgerungen für spezielle Abbildungsklassen bzw. Iterationsverfahren werden auch Abschätzungen für die Konvergenzgeschwindigkeit der Iterationsfolge angegeben. Der wesentliche Fortschritt der vorliegenden Arbeit gegenüber früheren einschlägigen Veröffentlichungen [L. Deng and X. P. Ding, Nonlinear Analysis, Theory Methods Appl. 24, No. 7, 981-987 (1995; Zbl 0827.47041) and the authors, “Fixpoint iterations for strictly hemi-contractive maps in uniformly smooth Banach spaces”, Numer. Funct. Anal. Optimization 15, No. 7-8, 779-790 (1994; Zbl 0810.47057)] ist darin zu sehen, daß (z.B. in Theorem 1) keine Voraussetzungen über die geometrischen Eigenschaften des zugrundeliegenden Banachraumes getroffen werden müssen.


MSC:
47H06Accretive operators, dissipative operators, etc. (nonlinear)
47H10Fixed point theorems for nonlinear operators on topological linear spaces
47J25Iterative procedures (nonlinear operator equations)