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On nuclei and blocking sets in Desarguesian spaces. (English) Zbl 0929.51005

Es sei P n bzw. A n der endliche n-dimensionale desarguessche projektive bzw. affine Raum der Ordnung q=p s . Eine Punktmenge S in P n bzw. A n heißt eine t-fache Blockademenge (t1), wenn jede Gerade von P n bzw. A n die Menge S in mindestens t Punkten trifft. Ein t-facher Nukleus einer Punktmenge S von P n ist jeder nicht zu S gehörende Punkt, durch den jede Gerade die Menge S in mindestens t Punkten trifft.

Der Verfasser beweist: Es sei S eine Punktmenge von P n der Kardinalität tΘ n-1 +k-1, wobei Θ n-1 =q n -1 q-1 ist. Gibt es in P n einer Hyperebene H, die genau i Punkte von S enthält, so ist die Anzahl der t-fachen Nuklei in A n =P n H höchstens (k+r)(q-1) sofern für r0 der Binomialkoeffizient tΘ n-1 +k-i-1 k+r nicht kongruent 0 modulo p ist.

Als Anwendung dieses Satzes ergibt sich: Ist S eine t-fache Blockademenge in A n und e (t) der höchste Exponent, so dass p e(t) die Zahl t teilt, so hat S mindestens (t+1)q n-1 -p e(t) Punkte. Für e(t)=0 hat diese Schranke P. Sziklai [Discrete Math. 174, No. 1-3, 323-327 (1997; Zbl 0892.51006)] bewiesen.

51E21Blocking sets, ovals, k-arcs