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Sur les systèmes desmiques de trois tétraèdres. (French) JFM 11.0431.01
Drei Tetraeder bilden ein desmisches System (δε ´σμη, faisceau), wenn sie Glieder eines Flächen- büschels vierten Grades sind. In Folge dieser Begriffsbestimmung müssen drei derartige Tetraeder besondere Beziehungen der Lage zu einander haben. Als eine der wichtigsten, aus der manche andere Besonderheiten hergeleitet werden, wird folgende ermittelt. Damit zwei Tetraeder ein Büschel von Flächen vierten Grades bestimmen, welches ein drittes Tetraeder als Glied in sich schliesst, muss jede Kante des einen zwei Gegenkanten des andern durchschneiden, eine Eigenschaft, die man auch so aussprechen darf: Jedes Paar Gegenkanten des einen Tetraeders muss sich auf einem Paar Gegenkanten des andern Tetraeders stützen. Diese Eigenthümlichkeit ist nichr nur eine nothwendige Folge der Begriffsbestimmung eines desmischen Systems, sondern sie ist auch eine hinreichende Bedingung dafür, dass zwei Tetraeder ein solches System bestimmen. Ist ein Tetraeder A und eine Ecke B 0 eines zweiten Tetraeders B gegeben, welches mit ihm desmisch verbunden ist, so sind die drei andern Ecken von B auf folgende Weise aufzufinden: Von B 0 laufen drei Gerade durch die drei Paar Gegenkanten von A; auf ihnen bilden die zu B 0 conjugirten harmonischen Punkte die übrigen Ecken von B. Die Ecken des dritten Tetraeders C gewinnt man, wenn man zu B 0 die vier homologen Punkte in den vier involutorischen Homologien sucht, welche durch je eine Ecke von A und ihre Gegenfläche bestimmt werden. Ist statt einer Ecke eine Fläche von B gegeben, so ist die Auffindung in ähnlicher Form möglich. Auf weitere Relationen kann hier nicht eingegangen werden.