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On linear differential equations which admit hypergeometric series as integrals. (Sur l’équation differentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique.) (French) JFM 13.0267.01

Die Arbeit enthält eine vollständige Theorie der Differentialgleichung

(1)x(1-x)y '' +[γ-(α+β+1)x]y ' -αβγ=0

ohne jede Beschränkung des Gebietes der Variablen. Im ersten reile werden mit Hülfe der Euler’schen und Jacobi’schen (Crelle J. LVI 149 ff.) Methode sechs particuläre Lösungen in der Form des bestimmten Integrals

u β-1 (1-u) γ-β-1 (1-xu) -α du=Vdu

zwischen den resp. Grenzen:

0,1;0,-;1,+;0,1 x;1,1 x;1 x,+

abgeleitet und gezeigt, dass, so lange keine der Constanten γ,γ-α-β,β-α eine ganze Zahl ist, jedes dieser Integrale an vier verschiedene Arten mittels hypergeometriseher Reihen F dargestellt werden kann. Es sind dies die 24 Kummer’schen Integrale. Als viertes Element in F kommen der Reihe nach

x,1 x,1-x,1 1-x,x x-1,x-1 x

vor, wodurch unmittelbar die Gültigkeit der verschiedenen Darstellungen angezeigt ist, da der Modul des vierten Elements überall kleiner als 1 sein muss. Zwischen je drei der sechs Lösungei besteht eine lineare Relation, also im Ganzen 20. Sie werdei sämmtlich aus der durch Anwendung des Cauchy’schen Satzes sich ergebenden Gleichung

- 0 Vdu+ 0 Vdu+ 1 + Vdu=0

abgeleitet und vollständig angegeben. Die Coeffieienten sind Producte von Gammafunctionen. Durch diese Relationen ist mai in den Stand gesetzt, eine gegebene particuläre Lösung von einen Punkte aus nach jedem beliebigen Punkte fortzusetzen, wenn der durch keinen der Punkte 0, 1 führende Weg vorgeschrieben ist. Der vorbin erwähnte ausgeschlossene Fall wird durch die Methode der Grenzen behandelt und führt im Allgemeinen zu Ausdrücken die mit Logarithmen behaftet sind. So werden die beiden particulären Integrale des allgemeinen Falles

F(α,β,γ,x)undx 1-γ F(α+1-γ,β+1-γ,2-γ,x)

für γ=1 identisch; der Ausdruck

lim γ-1 ·x 1-γ F(α+1-γ,β+1-γ,2-γ,x)-F(α,β,γ,x) 1-γ

ergiebt aber das neue Integral

logx·F(α,β,γ,x)+ψ(x),

wo

ψ(x)= m=1 m= A m B m x m ,

A m der Coefficient von x m in F(α,β,γ,x) und

B m =1 α+1 α+1+...+1 α+m-1+1 β+1 β+1+...+1 β+m-1-21+1 2+...+1 m·

Die linearen Relationen zwischen diesem Integral und den schon bekannten Integralen enthalten in den Coefficienten ausser den Gammafunctionen noch die Differentiallogarithmen derselben. Die Betrachtungen werden dann angewendet auf die von den Herren Fuchs, (Borchardt J. LXXI. 91, F. d. M. II. 1870. p. 248 (JFM 02.0248.01)) und Tannery, (Ann. de l’Éc. N. (2) VIII. 169, F. d. M. XI. 1879. p. 238 (JFM 11.0238.01)) behandelte Gleichung

x(1-x)y '' +(1+2x)y ' -1 4y=0

welche die vollständigen elliptischen Integrale erster Gattung als Functionen des Moduls definirt. Hier ist γ=1 (No. 1-18). Der Beschluss dieses ersten Teils bildet die Feststellung der Kriterien für das Vorhandensein eines partienlären oder allgemeinen algehraischen Integrals der Gleichung (1). Diese Frage ist bekanntlich von Herrn Schwarz (Borchardt J. LXXV. 292, F. d. M. V. 1873. 249 (JFM 05.0249.01)) zuerst behandelt und gelöst worden. Die Bedingungen für die Existenz eines einzigen algebraischen Integrals ergeben sich leicht. Aber auch die Lösung der weit schwierigeren Frage, wann die Gleichung (1) lauter algebraische Integrale habe, gelingt dem Verfasser durch Betrachtungen, die wegen ihres elementaren Characters beachtenswert sind. Bezeichnet c 1 y 1 +c 2 y 2 ein beliebiges Integral und c 1 ' y 1 +c 2 ' y 2 den Wert desselben nach einem geschlossenen Umgang, so erhellt unmittelbar, dass, falls c 1 y 1 +c 2 y 2 ein algebraisches Integral ist, der Quotient c 2 ' :c 1 ' bei beliebigen geschlossenen Integrationswegen nur eine begrenzte Anzahl von Werten annimmt. Der Verfasser zeigt aber auch umgekebrt, dass, wenn letzteres der Fall ist, für beliebige c,c ' das allgemeine Integral algebraisch ist. Geht man nun von den Integralen

y 1 =F(αβγ,x),y 2 =x 1-γ F(α+1-γ,β+1-γ,2-γ,x)

aus und setzt

c 2 :c 1 =ϱ,c 2 ' :c 1 ' =ϱ ' ,

so gilt bei einem positiven oder negativen Umlauf um x=0 zwischen ϱ und ϱ ' die Beziehung

(1)ϱ ' -a=K(ϱ-a),resp.ϱ ' -a=1 K(ϱ-a),

wo

a=-𝛤(α+β-1-γ)𝛤(1-γ) 𝛤(α+1-γ)𝛤(β+1-γ),K=e -2π(1-γ)i ,

und bei einem positiven oder negativen Umlauf um x=1

(3)1 ϱ ' -b=K ' 1 ϱ-b,resp.1 ϱ ' -b=1 K ' 1 ϱ-b

und

b=-𝛤(γ)𝛤(γ-α-β) 𝛤(γ-α)𝛤(γ-β),K ' =e -2πi(γ-α-β)

ist. Da jeder geschlossene Umgang auf eine Anzahl successiver positiver oder negativer Umgänge um die Punkte 0 und 1 zurückgeführt werden kann, so handelt es sich bei der vorliegenden Untersuchung um die Ermittelung der Fälle, in welchen die in beliebiger Ordnung wiederholte Anwendung der Substitutionen (2) und (3) auf eine endliche Anzahl von Grössen führt. Geometrisch gedeutet lässt sich die Aufgabe in folgender Form aussprechen: “Es sind in einer Kugel zwei Durchmesser SS ' ,PP ' gegeben; auf ihrer Oberfläche gelange man von einem Punkte zu einem folgenden, indem man ihn den Winkel ±2π(t-γ) um SS ' , oder den Winkel ±2π(α+β-γ) um PP ' beschreiben lässt; in welchen Fällen ist die so erhaltene Anzahl von Punkten ein endliche, wie oft und in welcher Ordnung man auch die erwähnten Constructionen anwenden mag?”

Es findet sich, dass die Axen SS ' PP ' Symmetrieaxen eine regelmässigen Körpers sein mässen. Construirt man das sphärische Dreieck SPQ, worin

<PSQ=(1-γ)π,<SPQ=(γ-α-β)π,

dann wird

<SQP=(α-β)π,

und man erhält den Satz des Herrn Shwarz: “ Damit das allgemeine Integral algebraisch ist, ist es notwendig und hinreichend, das die drei Ebenen des Trieders OSPQ die drei Symmetrieebenen einer Doppelpyramide oder eines regelmässigen Polyeders sind” (No. 19-25). Der zweite Teil beschäftig sich mit der Untersuchung derjenigen Transformationen der hypergeometrischen Reihe, die nur statthaben, wenn die Elemente α,β,γ gewissen Bedingungen genügen. Die Abhandlungen von Gauss und namentlich von Herrn Kummer über hypergeometrische Reihen (Crelle J. XV.) enthalten eine grosse Anzahl hierher gehöriger Formeln. Der allgemeine Typus derselben ist:

(4)x -p (1-x) -q F(α,β,γ,x)=t p ' (1-t) q ' F(α ' ,β ' ,γ ' ,t),

wo t eine algebraische Function von x bedeutet. Der Verfasser stellt sich nun die Aufgabe, alle Transformationen dieser Art zu finden, und geht dabei von einem neuen Gesichtspunkte aus. Wie Riemann zuerst gezeigt hat, genügt x -p (1-t) q ' F(α ' ,β ' ,γ ' ,x) der Differentialgleichung

(5)x 2 (1-x) 2 y '' +(ax+b)x(1-a)y ' +(Ax 2 +Bx+C)y=0·

A,B,C,a,b sind durch p,q,α,β,γ eindeutig derart bestimmt, dass einem Wertsystem der ersteren vier Wertsysteme der letzteren entsprechen. Die Aufstellung aller Relationen von der Form (4) ist demnach mit der Lösung folgender Frage gleichbedeutend: Für welche Werte der ConstantenA,B,C,a,b existiren Substitutionen x=φ(t), durch welche die Gleichung (5) ihre Form nicht ändert, indem nur die erwähnten Constanten durch A ' ,B ' ,C ' ,a ' ,b ' ersetzt werden? Die Analyse führt zu dem Ergebnis, dass, besondere Fälle ausgenommen, in denen die Integrale von (5) sich durch elementare Functionen ausdrucken lassen, x eine algebraische Function von t von höchstens dem sechsten Grade in Beziehung auf x und t sein muss. Es werden zunächst alle rationalen Substitutionen bestimmt und die Bedingungen angegeben, welche die Constanten A,B,C,a,b und demgemäss die Elemente α,β,γ erfüllen müssen (No. 1-14). Durch Combination der rationalen Substitutionen, die für das nämliche Wertsystem von A,B,C,a,b existiren, erhält man alle nicht rationalen algebraischen Substitutionen. Im Anschluss daran werden die durch die erwähnten Substitutionen gelieferten Transformationsformeln für die hypergeometrische Reihe, in der von den drei Elementen α,β,γ nur zwei oder eins willkürlich bleiben, in einer umfangreichen Tabelle vollständig zusammengestellt. Von diesen finden sich in der Arbeit des Herrn Kummer nur die Transformationen mit zwei willkürlichen Elementen erschöpfend angegeben. Für die Einzelheiten der sehr interessanten Untersuchung ist wegen ihres grossen Umfanges auf das Original zu verweisen.


MSC:
34A30Linear ODE and systems, general
34A25Analytical theory of ODE (series, transformations, transforms, operational calculus, etc.)