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Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra. (German) JFM 14.0090.01
Leipzig. Teubner (1882).

Bei der weitgreifenden Bedeutung einerseits, welche die Theorie des als Gruppenbildung bezeichneten Algorithmus für die verschiedensten Gebiete der Mathematik, Algebra, Functionentheorie, Zahlentheorie und Geometrie allmälich gewonnen hat, und voraussichtlich noch in höherem Masse gewinnen wird, bei der Wichtigkeit der Untersuchungen andererseits über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, die man Lagrange, Cauchy Gauss, Abel, Gabis, Kronecker, Jordan u. A. verdankt, erscheint es wohl auch weiteren mathematischen Kreisen als ein Bedürfnis, sich mit der Substitutionentheorie überhaupt und gleichzeitig mit ihren Anwendungen auf die algebraischen Gleichungen vertraut zu machen, zumal jene allgemeine Theorie bei der ihr anhaftenden Abstractheit im Hinblick auf diese Anwendungen eine concrete Basis gewinnt, die sie dem Verständnis näher bringt. Zu den, bisher publicirten diesbezüglichen literarischen Hülfsmitteln, von denen die 4 te Abteilung von Serret’s “Höherer Algebra” und C. Jordan’s Traité des substitutions et des équations algébriques” und die kürzeren, nur zur Einführung in den Gegenstand bestimmten Abhandlungen von Jordan (Commentaire sur Galois, Clebsch Ann. I. l45 ff. cf. F. d. M. II. 1869. 40 f., JFM 02.0040.02) und Netto (Einleitung in die Theorie der Substitutionen und ihrer Anwendungen, Grunert Arch. LXII. 225 ff. cf. F. d. M. X. 1878. 102 f., JFM 10.0102.01) erwähnt seien, tritt als neues das vorliegende Werk des letztgenannten. Dasselbe ist durch seine klare und dabei knappe Darstellungsweise, namentlich aber auch durch ein zweckmässiges Hervorheben der einzelnen zu behandelnden Fragen und ihres Zusammenhangs besonders geeignet, Studirende, denen die ersten Sätze der Zahlentheorie und die Elemente der Algebra bekannt sind, in die genannten Forschungsgebiete einzuführen. Auf Anschauungen beruhend, wie sie Herr Kronecker seinen Universitätsvorlesungen und seinen Abhandlungen zu Grunde legt, unterscheidet es sich durch den Gang im Allgemeinen und in vielen Einzelheiten von den oben genannten früheren ausführlichen Arbeiten, so dass es auch das Interesse des mit der Theorie bereits Vertrauten in Anspruch nehmen dürfte.

Das Buch zerfällt in zwei Abschnitte, von denen der erste die Theorie und der zweite ihre Anwendungen auf die Algebra enthält. Um der Entwickelung der Theorie einen greifbaren Untergrund zu geben und zum Zweck der Vereinfachung der Beweise und der Präzisirung der Anschauungen und Hauptfragen werden von vornherein die ganzen Functionen mit in das Bereich der Betrachtung gezogen. Ausgegangen wird von den symmetrischen Functionen und zunächst gezeigt; dass sich der Begriff der Symmetrie der Gestalt mit dem der Einwertigkeit deckt. Es folgt der Nachweis ihrer Darstellbarkeit als ganzer Functionen der “elementaren symmetrischen Functionen” auf Grund der Newton’schen Formeln, ferner der Nachweis, dass diese Darstellung nur auf eine Weise möglich ist (nach Gauss), sowie ein Verfahren, dieselbe wirklich auszuführen; als Beispiel dient die Berechnung einer Discriminante. An den Begriff der Discriminante wird die Herleitung der Euler’schen Formeln geknüpft. Die Behandlung der mehrwertigen Functionen wird mit der der zweiwertigen, als dem einfachsten Falle, begonnen und in einer Weise durchgeführt, die nicht bloss für das Verständnis der allgemeinen Theorie der mehrwertigen Functionen vorbereitet, sondern auch die Richtschnur für die fernere Fragestellung und den Fortgang der Entwickelungen liefert. Im Laufe dieser speciellen Untersuchung bietet sich die Gelegenheit, den Begriff der Substitution einzuführen bei Herleitung einer Eigenschaft derselben (die Constanz des graden oder ungraden Charakters bezüglich der Anzahl der Transpositionen, aus denen sie sich zusammensetzen lässt, betreffend) und den Vorteil anzudeuten, den die gleichzeitige Betrachtung ganzer Functionen für Beweise substitutionen-theoretischer Sätze gewährt. (1. Cap.) Das 2 te Capitel beginnt mit den verschiedenen Darstellungsweisen der Substitution, von denen die durch Cyklen als die zweckmässigste erscheint, weswegen dies auch in dem ganzen Werke fast ausschliesslich zur Verwendung kommt. Die Anwendung aller möglichen Substitutionen auf eine beliebige Function führt dann zu dem Begriff der Zusammensetzung (Multiplication) und dem der Substitutionengruppe. Daran knüpft sich die Untersuchung des wichtigen Zusammenhangs, der zwischen den mehrwertigen Functionen und den Gruppen besteht, und die Angabe verschiedener Hülfsmittel zur Bildung von Functionen, die zu gegebenen Gruppen “gehören”. Im Uebrigen handelt es sich in diesem Capitel um die Construction und die Eigenschaften der einfachsten und wichtigsten Gruppen (symmetrische, alternirende, Gruppe der Potenzen einer oder zweier Substitutionen und der Producte derselben u. a., endlich Gruppe, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist). Das 3 te Capitel ist dem substitutionen-theoretischen und algebraischen Zusammenhang gewidmet, der zwischen den einzelnen Werten einer mehrwertigen Function besteht. Begonnen wird mit der wichtigen Anordnung sämmtlicher Substitutionen oder derer einer beliebigen Gruppe in eine entsprechende Tabelle, die zunächst den Zusammenhang zwischen Werteanzahl und Gruppenordnung darlegt und weiter die substitutionen - theoretischen Sätze über die Beziehung zwischen den Ordnungszahlen mehrerer Gruppen liefert. Die gleichzeitige Betrachtung der Gruppen, welche zu den verschiedenen Werten einer mehrwertigen Function gehören, führt einerseits auf den Begriff der ähnlichen Functionen und den der Transformation, woran die Ableitung des Cauchy-Sylow’schen Satzes geknüpft wird, andererseits auf die Erörterung der Frage, ob diese Gruppen ausser der identischen noch andere Substitutionen gemein haben können. Ausser der Aufstellung der Gleichung für die mehrwertigen Functionen enthält dieses Capitel noch eine Untersuchung über die Discriminante der zu einer Gruppe gehörigen Functionen (cfr. F. d. M. XII. 1880. p. 60 ff., JFM 12.0060.02) und die Behandlung der für die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen wichtigen Frage nach mehrwertigen Functionen, von denen eine Potenz einwertig ist. Das 4 te Capitel ist ausführlichen Untersuchungen besonderer Eigenschaften von Gruppen, der Transitivität, Primitivität, der einfachen und zusammengesetzten und der isomorphen gewidmet, in Betreff deren Referent auf das Buch selbst verweisen muss. Sodann wird (5. Cap.) die Frage nach den algebraischen Beziehungen zwischen Functionen derselben Gruppe aufgenommen und die Theorie der “Gattungen algebraischer Functionen und der “enthaltenen Gattungen” entwickelt. An die Behandlung der Aufgabe, eine mehrwertige enthaltende Function durch eine wenigerwertige enthaltene Function auszudrücken, knüpft sich die specielle für die Anwendungen wichtige Frage, unter welcher Bedingung jene eine genaue Potenz dieser wird. Das Capitel schliesst mit dem Nachweise, der für die Möglichkeit der Darstellung einer Function durch eine zu derselben Gattung gehörige von Belang ist dass es auch bei beliebigen Beziehungen zwischen den Elementen, ausgenommen die Gleichheit zweier, in jeder Gattung Function giebt, deren Determinante von Null verschieden ist. Während für die Existenz mehrwertiger Functionen bis dahin nur vereinzelte Beispiele aufgetreten waren, nimmt das 6 te Capitel eine umfassendere Untersuchung der Frage nach den möglichen Anzahlen der Werte von Functionen auf; dieselbe wird zunächst auf die nach der Existenz von Gruppen reducirt, welche Substitutionen mit einer gewissen Minimalzahl von Elementen besitzen. Dann werden die diesbezüglichen Sätze von Serret u. A. und namentlich der allgemeine Satz von Jordan (cfr. F. d. M. X. 1878. p. 101, JFM 10.0100.07) abgeleitet. Das 7 te Capitel giebt Untersuchungen über besondere Arten von Gruppen, wie sie für die Anwendung auf algebraische Fragen sich als notwendig erweisen, und zwar zunächst über die Gruppen 𝛺, d. h. diejenigen transitiven Gruppen, bei denen Grad Grad und Ordnung einander gleich sind, und auf welche bereits die Untersuchung der isomorphen Gruppen im 4 ten Cap. geführt hatte. Da jede “Classe” von Gruppen, d. h. die Gesammtheit aller einstufig isomorpher transitiver Gruppen einen und auch nur einen Typus einer Gruppe 𝛺 enthält, so liefert die Aufstellung aller Typen der Gruppen 𝛺 des Grades und der Ordnung r die Repräsentanten aller zu r gehörigen Classen und damit auch die derselben; einen Typus bildet die durch die Potenzen einer Circularsubstitution gebildete “cyklische Gruppe”; im Ganzen ergeben sich drei Typen von Gruppen 𝛺. Ferner werden betrachtet diejenigen Gruppen, die höchstens ein Element ungeändert lassen, besonders die metacyklische und halbmetacyklische Gruppe. Die Substitutionen der behandelten Gruppen lassen sich einfach darstellen durch die Angabe der Indicesänderungen der Elemente; diese Bemerkung führt weiter auf die linearen gebrochenen Substitutionen (mod. p) und zu Gruppen des Grades p+1 und der Ordnung p(p 2 -1). Den Schluss des Capitels bilden die Gruppen, deren Substitutionen unter einander vertauschbar sind. Im achten Capitel wird dann noch kurz auf die im vorigen Capitel schon berührte analytische Darstellung der Substitutionen eingegangen und die geometrischen und arithmetischen Substitutionen und die lineare Gruppe behandelt.

Der zweite Abschnitt beginnt mit der Auflösung der Gleichungen der ersten vier Grade unter Heranziehung von im ersten Abschnitte abgeleiteten Eigenschaften der mehrwertigen Functionen und dient als Vorbereitung für das Folgende. Die genauere Präcisirung der Fragestellung für die Auflösung von Gleichungen beliebigen Grades zeigt zunächst, dass die Auffindung sämmtlicher Wurzeln der Gleichung die Aufsuchung nur einer einzigen Wurzel der “Galois’schen Resolventengleichung” erfordert. Die letztere giebt Gelegenheit, auf den Begriff “specieller” Gleichungen überhaupt einzugehen, woran sich die Einführung der für die Specialität charakteristischen, “als bekannt angesehenen Functionen- Gattung” resp. “Gruppe der Gleichung” knüpft. Vorläufig werden von der letzteren nur zwei Haupteigenschaften nachgewiesen, nämlich die charakteristischen Eigenschaften der Gruppe der irreductibeln und derjenigen Gleichungen, deren Wurzeln rationale Functionen einer beliebigen unter ihnen sind. Sodann wird die Gruppe der Galois’schen Resolventengleichung von allgemeinen und “speciellen” Gleichungen behandelt, der Begriff der “Resolvente” verallgemeinert und an die Besprechung der Bedeutung der Auflösung der allgemeinen Resolventengleichung für die Auflösung der ursprünglichen Gleichung als Anwendung eine kurze Auseinandersetzung der Lagrange’schen Reduction geknüpft. (9. Cap). Als Grundlage und Vorbereitung für die allgemeine Theorie sind die nächsten drei Capitel zu betrachten, welche nach der Reihe den Kreisteilungs-. den Abel’schen und denjenigen Gleichungen, bei denen rationale Beziehungen zwischen drei Wurzeln bestehen, speciell den Galois’schen und den Tripelgleichungen gewidmet sind. Hierbei wird die Anwendung der Substitutionentheorie durch die von vornherein gegebenen rationalen Wurzelrelationen, welche diese Gleichungen charakterisiren, ohne weiteres ermöglicht. Beim Uebergang zu allgemeinen algebraischen Untersuchungen aber ist nun zunächst die Frage zu erledigen, ob die Substitutionentheorie, die lediglich an rationale Functionen anknüpft, auch bei Aufgaben, wie der der algebraischen Auflösung von Gleichungen verwendbar ist. Dies kann nur auf algebraischem Wege geschehen; daher ist das 13 te Capitel im Wesentlichen arithmetischen Betrachtungen gewidmet. Nach Einführung des Begriffs des Rationalitätsbereiches und dem der zugehörigen Functionen, wird mittels eines wichtigen Hülfssatzes eine Normalform für dieselben gewonnen und die eigentümliche Form der Wurzeln algebraisch auflösbarer Gleichungen festgestellt; der Umstand, dass die hierin auftreten. den irrationalen Functionen der Coefficienten rationale Functionen der Wurzeln selbst sind, beseitigt dann den oben erwähnten Zweifel. Daran knüpft sich der Nachweis der Unauflösbarkeit allgemeiner Gleichungen von höherem als dem 4 ten Grade. Dann wird noch tiefer in das Wesen der Darstellung der Wurzeln auflösbarer Gleichungen eingedrungen und als Anwendung der Satz erhalten, dass jede irreductible auflösbare Gleichung eines Primzahlgrades eine Galois’sche oder Abel’sche Gleichung sein muss. Im 14 ten Capitel folgt die eingehende Untersuchung der Gruppe einer Gleichung. Es wird gezeigt, wie sich die Eigentümlichkeiten der Gruppe, wie Transitivität und Imprimitivität in äquivalente algebraische Eigenschaften der Gleichung selbst umsetzen lassen; die Eigenschaft des Zusammengesetztseins erfordert ausführliche Untersuchungen, namentlich über die Galois’sche Resolvente. Der Nachweis, dass die Auflösung aller zu derselben Gruppe gehörigen Gleichungen durch die einer einzigen unter ihnen gegeben wird, rechtfertigt schliesslich die Uebertragung des Begriffs der Auflösbarkeit von Gleichung auf Gruppe. Weiter handelt es sich um die Reduction einer zusammengesetzten Gleichung und die Zerfällung derselben in rationale Factoren. Der Schluss des Capitels beschäftigt sich mit dem Nachweise, dass die Beschränkung, wonach in allen den vorangehenden Untersuchungen der gegebenen Gleichung immer nur rationale Functionen der Wurzeln der Gleichung selbst adjungirt wurden, nur eine scheinbare ist, insofern ebensowenig die Adjunction der Wurzeln einer neuen Gleichung, deren Coefficienten demselben Rationalitätsbereich angehören, wie die der ursprünglichen, als die Annahme, dass die Wurzeln beider Gleichungen einer in denselben rationalen Relation genügen, eine Erweiterung liefert. Im (15.) Schlusscapitel wird zu der gruppentheoretischen Behandlung der auflösbaren Gleichungen übergegangen. Es werden die für die Auflösbarkeit charakteristischen Eigenschaften der Gruppe der Gleichung in mancherlei Formen festgestellt, an die sich einige Anwendungen knüpfen. Für den allgemeinen Fall, dass der Grad der Gleichung verschiedene Primfactoren besitzt, wird das Abel’sche Reductionsverfahren auseinandergesetzt. Der Fall ferner, dass der Grad eine Primzahlpotenz p k ist, kann noch durch die Voraussetzung beschränkt werden, dass die Gruppe der Gleichung imprimitiv sei. Hierfür wird dann der Charakter der Gruppe festgestellt. Der specielle Fall k=1 führt auch auf diesem Wege zu dem früher durch die algebraische Methode gelieferten Satz über die Natur der auflösbaren Gleichungen (s. oben) von einem Primzahlgrade. Der Fall k=2 liefert die Sätze, die Herr Jordan (Liouv. J. (2) XIII. p. 111 ff.) angegeben hat. Schliesslich wird noch auf die rationale Darstellbarkeit der Wurzeln einer auflösbaren primitiven Gleichung vom Grade p k durch eine bestimmte Anzahl unter ihnen eingegangen. (Eine Berichtigung zu p. 94 Zusatz II. des Buches findet man in Klein Ann. XXII. p. 94 Fussnote).