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On Riemann’s theory of algebraic functions and their integrals. (Ueber Riemann’s Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integrale.) (German) JFM 14.0358.01
Leipzig. Teubner (1882).

Es sind zwei Hauptpunkte, durch welche sich die vorliegende Darstellung der Riemann’schen Theorie von der Darstellung unterscheidet, wie sie Riemann selber in seiner berühmten Abhandlung über Abel’sche Functionen gegeben hat. Einmal benutzt Herr Klein durchweg physikalische Anschauungen, wo sich Riemann des Dirichlet’schen Princips bedient; sodann legt Herr Klein seiner Untersuchung beliebige geschlossene, nicht nur, wie Riemann, mehrblättrige über einer Ebene ausgebreitete Flächen zu Grunde.

Die Vorteile, welche diese Abweichungen gewähren, liegen namentlich nach der didaktischen Seite hin (siehe d. Vorwort). Es tritt ,,das heuristische Element der Methode klarer hervor“; der Leser gewinnt beim Studium der Schrift unwillkürlich die Empfindung, dass er selber aus sich auf dem vorgezeichneten Wege die Theorie hätte entwickeln können. Hierauf vor Allem dürfte die grosse anregende Kraft zurückzuführen sein, welche der von Herrn Klein gegebenen Darstellung innewohnt. Was die Anlage der Untersuchung angeht, so wird zunächst im ersten Abschnitt die physikalische Deutung der Functionen eines complexen Argumentes ausführlich studirt, bei welcher der reelle Teil der Function als Geschwindigkeitspotential einer stationären Strömung in der Ebene, deren Punkte die Werte des Argumentes geometrisch repräsentiren, betrachtet wird. Die rationalen Functionen und ihre Integrale geben hier zweckmässige Beispiele; sie liefern alle einförmigen Strömungen, bei welchen durch jeden Punkt der Ebene im Allgemeinen nur eine Strömungslinie geht. Der Uebergang von der Ebene zur Kugel beseitigt einmal die Ausnahmestellung, welche in der Ebene der Punkt z= einnimmt, so dass nunmehr auf der Kugel der Verlauf der Strömungen vollständig überblickt werden kann. Es schliesst sich an diesen Uebergang aber auch sofort die Fragestellung an, welche als die Riemann’sche bezeichnet wird, und aus der sich alles Weitere entwickelt: Man nehme eine beliebige geschlossene Fläche im Raume; welche einförmigen Strömungen existiren auf derselben ? Diese Strömungen führen offenbar zu einer wohlumgrenzten Classe von Functionen, deren Eigenschaften unmittelbar durch die Anschauung der zugehörigen, die Functionen definirenden Strömungen erkannt werden. Die Ausführung dieser Idee und damit die Entwickelung der Riemann’schen Theorie enthält der zweite Abschnitt der Schrift. Die geschlossen Flächen werden zuerst nach der Zahl p der sie nicht zerstückenden Rückkehrschnitte eingeteilt und der weiteren Betrachtung bestimmte Normalflächen (für das Geschlecht p eine Kugel mit p Anhängseln) zu Grunde gelegt. Die physikalische Anschauung lehr nun die allgemeinsten auf einer solchen Normalfläche existirenden einförmingen Strömungen kenn. Es ergeben sich dann die Sätze der Riemann’schen Theorie einfach durch Uebertragung der anschauungsmässig erkannten Eigenschaften dieser Strömungen auf die durch dieselben definirten Functionen. Der Uebergang von der Normalfläche zu der gewöhnlichen Riemann’schen Fläche, welcher durch die eindeutigen unter den gefundenen Functionen vermittelt werden kann, ist für den Fall p=1 auch rechnerisch durchgeführt, wie überhaupt die allgemeinen Untersuchungen vielfach durch speciele Beispiele erläutert sind.

Der dritte Abschnitt der Schrift ist weiteren Folgerungen aus den vorhergegangegen Entwickelungen gewidmet. Er enthält nicht nur der Form, sondern auch dem Inhalte nach neue Resultate über die eindeutige conforme Abbildung geschlossener Flächen auf einander. Hierbei werden insbesondere auch die vom Verfasser als ,,symmetrisch“ bezeichneten Flächen betrachtet, welche eine conforme Abbildung auf sich zulassen, die zweimal angewandt, zur Identität führt. Diese Flächen, welche auch als die zu reellen algebraischen Gleichungen gehörenden Flächen definirt werden können, gewinnen ein besonderes Interesse noch dadurch, dass sich die berandeten und Doppelflächen als speciele derartige Flächen auffassen lassen.


MSC:
30F99Riemann surfaces (one complex variable)
14H05Algebraic functions; function fields