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On hypergeometric functions. (Sur les fonctions hypergéométriques.) (French) JFM 15.0275.02

Gegenstand der Arbeit (JFM 15.0275.01) sind Reihen geordnet nach steigenden ganzen und positiven Potenzen einer Veränderlichen, in denen das Verhältnis zweier auf einander folgenden Coefficienten eine rationale Function des Stellenindex ist. Nachdem im Eingange eine Untersuchung vorangeschickt ist über die Bedingungen, unter denen eine lineare Differentialgleichung \(m^{\text ter}\) Ordnung mit eindeutigen Coefficienten in der Umgebung eines singulären Punktes \(p\) eindeutige von einander linear unabhängige Integrale besitzt, wird eine mehrdeutige Function von \(x\) nach dem Vorgange von Riemann durch folgende Eigenschaften definirt: Zwischen \(n+1\) Bestimmungen derselben existirt eine lineare homogene Relation mit constanten Coefficienten; die Function ist für jeden Wert von \(x\) ausser \(0,1, \infty\) holomorph; in der Umgebung der letzten Punkte gelten für sie bezüglich die Darstellungen: \[ P_1(x), x^{1-b_1}P_2(x), \dots, x^{1-b_{n-1}} P_n(x) \quad \text{für }x=0, \]
\[ Q_1(x),Q_2(x),\dots,(1-x)^{b_1+b_2+\dots + b_{n-1}-a_1-a_2\dots -a_n} Q_n(x) \quad \text{für}\quad x=1, \]
\[ \left(\frac 1x\right)^{a_1} R_1\left(\frac 1x\right), \left( \frac 1x\right)^{a_2} R_2\left(\frac 1x\right),\dots,\left(\frac 1x\right)^{a_n} R_n\left(\frac 1x\right)\quad \text{für}\quad x=\infty, \] worin die \(P, Q, R\) holomorphe Functionen in der Umgebung der bezüglichen Punkte bezeichnen. Die Constanten \(a_1,\dots, a_n, b1,\dots, b_{n-1}\) sind der Bedingung unterworfen, dass keine der Grössen \[ b_i,b_i-b_h,a_i-a_h,\sum_1^{n-1}b_i-\sum_1^na_i \] eine ganze Zahl ist. Die so definirte Function genügt einer Differentialgleichung von folgender Form: \[ x^n(x-1)y^{(n)} + (Ax-B)x^{n-2} y^{(n-1)} + (Cx-D)x^{n-3}y^{(n-2)}+\cdots \]
\[ +(Hx-K)xy''+(Lx-M)y'+Ny=0, \] und es ergiebt sich, dass die \(2n- 1\) Constanten \(A,B,\dots, M, N\) durch die an Zahl gleichen Constanten \(a, b\) unzweideutig bestimmt sind. Das in der Umgebung von \(x = 0\) holomorphe Integral lautet: \[ F{a_1a_2\dots a_{n-1}a_n \choose b_1b_2\dots b_{n-1}x} = \sum_{m=0}^{m=\infty} \frac{(a_1m)(a_2m)\dots (a_nm)}{(1m)(b_1m)\dots(b_{n-1} m)} \, x^m, \] wo \((\lambda k)=\lambda(\lambda+1)\dots(\lambda+k-1),\;\; (\lambda 0) =1\) ist.
Für \(n = 2\) geht \(F\) in die gewöhnliche hypergeometrische Reihe über. Die anderen Glieder des zu \(x = 0\) gehörigen Fundamentalsystems haben die Form: \[ y_i=x^{1-bi} F {a_1+1-b_i,a_2+1-b_1,\dots a_{n-1}+1-b_i, a_n+1-b_i \choose 2-b_i,b_1+1-b_i,\dots, b_{n-1}+1-b_i, x} \]
\[ (i=1,2,\dots,n-1). \] In ähnlicher Darstellung werden die zu den Punkten \(x = 0\) und \(x = \infty\) gehörigen Fundamentalsysteme gegeben. Die weitere Verfolgung der Analogien zwischen der Function \(F\) und der Gaussischen Function werden kurz angedeutet. So wird bemerkt, dass zwischen \(n + 1\) Functionen \(F\), die aus einer derselben dadurch abgeleitet werden, dass jedes der Elemente \(a\) und \(b\) um eine ganze Zahl vermehrt oder vermindert wird, eine lineare homogene Relation stattfindet, deren Coefficienten rationale Functionen der Variablen sind. Die Function \(F\) gestattet ferner eine Darstellung durch ein \((n- 1)\)-faches bestimmtes Integral. An die hypergeometrischen Functionen höherer Ordnung werden alsdann Functionen angereiht, die den Fourier’schen Transcendenten analog sind; sie haben zum einzigen singulären Punkt \(x=0\) und können als Grenzfälle der ersteren Functionen aufgefasst werden.
In der zweiten Abhandlung wird zunächst der Begriff einer Klasse “gleichverzweigter” Differentialgleichungen eingeführt. Sie sind dadurch bezeichnet, dass sie die nämlichen singulären Punkte haben und der Uebergang entsprechender Fundamentalsysteme in andere bei einem beliebigen Umlauf der unabhängigen Variablen \(x\) durch dieselben linearen Relationen bestimmt ist. Bedeutet \(y\) das allgemeine Integral der einen Gleichung (\(n^{\text ter}\) Ordnung), so ist das jeder anderen derselben Klasse angehörigen Gleichung in der Form \[ z=P_0y+P_1y'+\cdots +P_{n-1}y^{(n-1)} \] darstellbar, wo die \(P\) eindeutige Functionen von \(x\) bedeuten. Haben beide Gleichungen in der Umgebung sämtlicher singulären Punkte lauter reguläre Integrale, so sind die \(P\) rationale Functionen von \(x\). Zwischen den Integralen von \(n+1\) Gleichungen derselben Klasse besteht, wie leicht ersichtlich, eine lineare homogene Function mit eindeutigen (resp. rationalen) Coefficienten. Die hypergeometrischen Functionen \(n^{\text ter}\) Ordnung, deren Elemente \(a, b\) sich nur um ganze Zahlen unterscheiden, genügen Differentialgleichungen derselben Klasse, woraus die in der ersten Abhandlung bemerkte Beziehung zwischen \(n + 1\) derselben folgt. Behufs Verallgemeinerung eines Satzes von Clausen (Crelle J. III. p. 89) stellt sich der Verfasser die Aufgabe, alle Fälle zu ermitteln, in denen das Quadrat einer oder das Product zweier gewöhnlichen hypergeometrischen Reihen eine hypergeometrische Reihe höherer Ordnung ist. Sie hängt, wie der Verfolg der Untersuchung zeigt, mit der Frage zusammen, unter welchen Bedingungen die Differentialgleichung, der das erwähnte Product genügt, reductibel ist. Es zeigt sich, dass hierfür notwendig und hinreichend ist, dass die beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die betrachteten hypergeometrischen Reihen “derselben Familie” angehören. So werden zwei Differentialgleichungen bezeichnet, deren allgemeine Integrale zu einander in der Beziehung stehen \[ z=\varPi(x) (P_0y+P_1y'+\cdots +P_{n-1} y^{(n-1)} ), \] wo \(\varPi(x)\) eine Function bezeichnet, deren logarithmische Derivirte eindeutig ist, und die \(P\) selbst eindeutig sind. Mit Hülfe des erwähnten Satzes wird die Aufgabe gelöst, und der Weg angegeben, die gesuchte höhere hypergeometrische Reihe, die stets von der dritten Ordnung ist, herzustellen. Den Beschluss bildet der directe Beweis des wohl a priori einleuchtenden Satzes, dass eine lineare Differentialgleichung vollständig bestimmt ist, wenn ihre singulären Punkte, das Verhalten der zu ihnen gehörigen Fundamentalsysteme der Integrale in ihrer Umgebung und endlich die linearen Relationen zwischen diesen Fundamentalsystemen unter einander gegeben sind.

MSC:

33C05 Classical hypergeometric functions, \({}_2F_1\)
34A30 Linear ordinary differential equations and systems

Citations:

JFM 15.0275.01
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