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Memoir on Fuchsian functions. (Mémoire sur les fonctions fuchsiennes.) (French) JFM 15.0342.01

Die Abhandlung ist die zweite in der Reihe der ausführlichen Publicationen des Verfassers zur Theorie der eindeutigen Functionen mit linearen Transformationen in sich. [Bezüglich der vorangehenden Noten in den Comptes rendus und den Mathematischen Annalen vgl. F. d. M. XIII. 1881 und XIV. 1882]. Im Anschluss an die erste Abhandlung “Théorie des groupes fuchsiens” (vgl. das Referat in F. d. M. XIV. 1882. 338 (JFM 14.0338.01), auf welches der Kürze wegen bezüglich aller hier gebrauchten und nicht weiter erklärten Benennungen verwiesen werden muss) handelt es sich hier um die Aufstellung von eindeutigen Functionen einer Variabeln z, welche ungeändert bleiben, wenn man z den Substitutionen einer Fuchs’schen Gruppe (d. h. einer discreten Gruppe linearer Substitutionen mit Fundamentalkreis) unterwirft.

§§1-3 betreffen dabei zunächst die Herstellung gewisser convergenter Reihen, der “Theta-Fuchs’schen Reihen”, welche sich bei jenen Transformationen um einen Factor ändern, während die §§4-10 die Herstellung der eigentlichen Fuchs’schen Functionen durch Quotientenbildung aus jenen 𝛩-Functionen behandeln.

(I.) Setzt man

(1)f i (z)=α i z+β i γ i z+δ i ,

so bildet den Ausgangspunkt die Betrachtung der Reihe

(2)i 0 mod(df i (z) dz) m =i 0 mod1 (γ i z+δ i ) 2m ,

wobei sich Summe auf alle Substitutionen der zu Grunde gelegten Fuchs’schen Gruppe G bezieht und m eine ganze Zahl grösser als 1 bedeutet. Diese Reihe convergirt sowohl innerhalb als ausserhalb des Fundamentalkreises, ausgenommen an den Stellen z=-δ i γ i (die aus dem unendlich fernen Punkte der z-Ebene durch die Transformationen der Gruppe entstehen ) und an den wesentlich singulären Stellen der Gruppe G (die sämtlich auf dem Fundamentalkreise liegen). Ein erster Beweis dieses Satzes stützt sich darauf, dass

moddf i dz 2 <K 2 ·C i C 0

ist, wo C 0 und C i den Inhalt zweier Kreisflähen bedeuten, deren eine C 0 in einem Ausgangspolygone (Fundamentalpolygon der Gruppe) um den Punkt z gezeichnet ist, während die andere C i aus ihr durch die Transformation f i (z) hervorgeht; K ist dabei eine von i unabhängige, von der Lage des Punktes z im Fundamentalpolygone abhängige Grösse. Der zweite Beweis der Convergenz der Reihe (2) wird durch eine bestimmte Anordnung ihrer Glieder (nach der Entfernung der aus einem Punkte z transformirten Punkte z i vom Mittelpunkte des Fundamentalkreises) und unter Zuhülfenahme der auf den Fundamentalkreis gestützten nicht-euklidischen Maassbestimmung erreicht. Im Anschluss an die Reihe (2) wird die gegenseitige Beziehung verschiedener solcher Reihen besprochen, welche für isomorphe Gruppen gebildet sind. Man betrachte die Coefficienten der erzeugenden Substitutionen einer Gruppe als Functionen von p Parametern u k , so lassen sich aus den so erhalten unendlich vielen Gruppen, wie sie den verschiedenen Werten jener Parameter entsprechen, durch Einführung gewisser Gleichungen und Ungleichungen zwischen diesen Parametern unendlich viele isomorphe Gruppen bilden. Für diese erweist sich die Reihe (2) als stetige Function dieser Paramater u k . Nun folgt die Betrachtung der allgemeinen Reihe

(3)𝛩(z)=Hα i z+β i γ i z+δ i ·(γ i z+δ i ) -2m ,

wobei H(z) irgend eine rationale Function von z bedeutet, deren Unendlichkeitspunkte nicht auf dem Fundamentalkreise liegen, und m ganz und grösser als 1 ist. Diese “Theta-Fuchs’sche Function” hat folgende Eigenschaften:

1. Sie ist eine eindeutige Function von z mit folgenden Unstetigkeitstellen:

a) Sie besitzt polare Unstetigkeitspunkte in den Unendlichkeitspunkten von H(z) und den daraus durch die Substitionen der Gruppe G hervorgehenden Stellen, ebenso in den aus dem unendlich fernen Punkte transformirten Punkten -δ i γ i ·

b) Ihre wesentlich singulären Punkten der Gruppe G zusammen.

2. Es ist

𝛩α k z+β k γ k z+δ k =𝛩(z)·1 (γ k z+δ k ) 2m ·

Die Einteilung der Gruppen G in gewisse Familien nach Art des Fundamentalpolygons und nach dem Geschlechte p führt zu einer analogen Einteilung der entsprechenden Theta-Fuschs’schen Functionen. Je nachdem nun der Fundamentalkreis eine natürliche Grenze der Gebietseinteilung bildet oder nicht, definirt die Entwickelung von 𝛩(z) zwei völlig getrennt aufzufassende eindeutige Functionen für beide Teile der Ebene, oder aber sie stellt für die ganze Ebene eine einzige eindeutige Function des Ortes dar. Für die ersteren ergeben sich sofort zweierlei Arten. Betrachten wir eine Function 𝛩(z) für das Innere des Fundamentalkreises, so besitzt dieselbe Unendlichkeitsstellen oder nicht, je nachdem die Function H(z) innerhalb des Fundamentalkreises unendlich wird oder alle ihre Unendlichkeitsstellen ausserhalb desselben hat. Im letzteren Falle kann sich die innerhalb ihres Gebietes überall endlich bleibende Function 𝛩(z) auf eine Constante reduciren.

Für die Functionen 𝛩(z) ohne natürliche Grenze hat man eine unendliche Anzahl isolirter, wesentlich singulärer Punkte und zwar von allen Arten (im Sinne der Einteilung von Mittag-Leffler); auch hier giebt es (indem mehrere Unendlichkeitspunkte von 𝛩(z) sich gegenseitig aufheben) Functionen ohne solche Unendlichkeitsstellen.

Die Einteilung der Substitutionen der Gruppe G in elliptische, parabolische und hyperbolische führt zu analogen Einteilung der bei jenen Substitutionen festbleibenden Punkte der z-Ebene, welche singuläre Punkte der Function 𝛩(z) bilden. Dabei erweisen sich die “elliptischen” als ausserwesentlich singuläre Punkte (Pole), die “parabolischen” als logarithmische Unstetigkeitspunkte, während die “hyperbolischen” sich als wesentlich singuläre Punkte höherer Art ergeben. Was die Verteilung der Null und Unendlichkeitsstellen von 𝛩(z) in den einzelnen Polygonen der Gebietseinteilung betrifft, so lässt sich dieselbe in jedem Falle aus dem Verhalten der Function H(z), dem Exponenten m der Reihe (3) und der Art des Ausgangspolygons angeben.

II. Nun handelt es sich um die Bildung der Fuchs’schen Functionen, d. h. der Functionen, welche der Gleichung

Fα i z+β i γ i z+δ i =F(z)

genügen und dabei nur eine endliche Zahl von Null und Unendlichkeitsstellen besitzen.

Zu dem Ende braucht man nur den Quotienten zweier Functionen 𝛩(z) von gleichem Exponenten m zu bilden, und allgemein ist jede rationale homogene Function vom 0 ten Grade, aus verschieden Functionen 𝛩(z) gebildet, eine solche Fuchs’sche Function.

Von diesen gelten zunächst die Sätze: 1) Die Singularitäten sind dieselben wie diejenigen der 𝛩-Function. 2) Die Zahl der von einander verschieden Nullstellen (d. h. der Nullstellen in einem Fundamentalpolygon) ist gleich derjenigen der Unendlichkeitstellen in diesem Polygon diesem Polygon und ebenso gleich der Zahl der Punkte, in welchen die Function einen beliebig vorgegebenen Wert besitzt. 3) Zwischen zwei Fuchs’schen Functionen x,y, welche zu derstelben Gruppe gehören, findet eine algebraische Relation ϕ(x,y)=0 statt, deren Geschlecht mit dem “Geschlecht der Gruppe” übereinstimmt. Ist dieses insbesondere gleich Null, so lassen sich alle zu einer solchen Gruppe gehörigen Fuchs’schen Functionen rational durch eine einzige unter ihnen aus drücken. 4) Bezeichnen wir diese letztere mit x und bilden die beiden Functionen

v 1 =dx dz,v 2 =z·dx dz,

so folgt:

1 v 1 ·d 2 v 1 dx 2 =1 v 2 ·d 2 v 2 dx 2 =4d 3 x dz 3 ·dx dz-3(d 2 x dz 2 ) 2 4(dx dz),

wobei sich der letzte Ausdruck als Fuchs’sche Function von z erweist, sich also als rationale Function ϕ von zwei Fuchs’schen Functionen x,y darstellt. Also sind v 1 und v 2 die beiden Integrale der linearen Differentialgleichung

-d 2 v dx 2 =vϕ(x,y)·

Kennt man die Darstellung von x als Fuchs’sche Function von z, so ergeben sich die Integrale v 1 ,v 2 sofort aus den beiden ersten Formeln. Für eine Fuchs’sche Gruppe vom Geschlecht Null, wo sich jede zugehörige Fuchs’sche Function rational durch eine einzige x ausdrücken lässt, vereinfacht sich die Differentialgleichung auf

d 2 v dx 2 =v·ϕ(x)·

Die folgenden Paragraphen befassen sich nun im speciellen mit den besonderen Eigenschaften der Fuchs’schen Functionen der verschieden “Familien”, nach der früher besprochenen auf die zugehörigen Gruppen bezüglichen Einteilung. Bei diesen Betrachtungen ergeben sich gewisse für alle Kategorien gemeinsame Eigenschaften, die hier noch angeführt werden sollen. Jede 𝛩-Fuchs’sche Reihe 𝛩[z,H(z)] von der Eingangs (Formel (3)) gegebenen Art lässt sich auf die Form

dx dz m ·F(x,y)

bringen, wo F(x,y) eine Fuchs’sche Function ist, rational dargestellt durch die beiden Functionen x,y, durch welche sich alle zur Gruppe gehörigen Fuchs’schen Functionen rational ausdrücken (und wobei noch eine Beziehung ϕ(x,y)=0 besteht). Umgekehrt lässt sich der letztere Ausdruck (unter m eine ganze Zahl grösser als 1 verstanden) stets in Form einer 𝛩-Fuchs’schen Reihe darstellen, vorausgesetzt, dass derselbe für alle auf dem Fundamentalkreis gelegenen Eckpunkte der Gebietseinteilung verschwindet. Im weiteren werden Methoden ausgeführt zur Aufstellung von linearen Relationen, welche zwischen überall endlichen 𝛩-Fuchs’schen Reihen (in unendlicher Anzahl) bestehen. Die explicite Aufstellung solcher Relationen führt dabei gleichzeitig zur Möglichkeit, eine Fuchs’sche Function auf unendlich viele Arten als Quotient gewisser Reihen darzustellen.

Im Laufe der vorliegenden Untersuchungen findet sich Gelegenheit, auch die in der vierten Abhandlung dieser Reihe ausgeführten Beziehungen der Theorie der Fuchs’schen Functionen zu den linearen Differentialgleichungen zu erwähnen. Den Schluss bildet eine kurze Zusammenstellung der vorausgegangen Untersuchungen, zunächst über die doppeltperiodischen Functionen und die Modulnfunctionen in den Arbeiten von Hermite, Dedekind, Fuchs und Klein, dann insbesondere über diejenigen eindeutigen Functionen mit linearen Transformationen in sich, welche sich nach den Untersuchung von Schwarz aus der hypergeometrischen Differentialgleichung ergeben.


MSC:
30F35Fuchsian groups and automorphic functions