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Memoir on Kleinian groups. (Mémoire sur les groupes kleinéens.) (French) JFM 15.0348.02

Die dritte Abhandlung zur Theorie der Functionen mit linearen Transformationen in sich (für die vorhergenden vgl. F. d. M. XIV. 1882. 338 ff.(JFM 14.0338.01) und XV. 1883. 342 (JFM 15.0342.01), ferner für die auf das gleiche Thema bezügliche Abhandlung von Klein “Zur Riemann’schen Functiontheorie” Klein Ann. XXI. und F. d. M. XV. 1883. 351 (JFM 15.0351.01)) behandelt die allgemeinsten discontinuirlichen Gruppen linearer Transformationen einer Veränderlichen und die zugehörigen Functionen.

Der Verfasser bezeichnet die Gruppen linearer Transformationen mit beliebigen complexen Coefficienten als “Klein’sche Gruppen”, im Gegensatze zu den in den vorausgehenden Abhandlungen betrachteten Gruppen mit reellen Coefficienten (oder den aus ihnen durch “Transformation” abgeleiteten ), welche als “Fuchs’sche Gruppen” bezeichnet sind. Zunächst werden folgende gruppentheoretische Sätze, welche das Gebiet der Betrachtungen fixiren, abgeleitet:

1) Jede lineare Substitution ζ ' =αζ+β γζ+δ kann, und zwar noch auf die mannigfachste Weise, aus einer paaren Anzahl von “Inversionen” (Transformationen durch reciproke Radien an verschiedenen Kreisen) abgeleitet werden.

2) Damit lässt sich jeder solchen Substitution, welche wir in der ζ-Ebene (oder auch auf einer Kugel) deuten, eine bestimmte Transformation des Raumes an die Seite setzen, indem jene Inversionen nicht nur in der Ebene (bez. jener Kugel) ausgeführt werden, sondern im Raume und zwar mit Bezug auf eine Kugel, welche durch den Innversionskreis gehend, auf der ζ-Ebene (bez. der dieselbe vertretenden Kugel) senkrecht steht.

Vesteht man unter einer infinitesimalen Transformation eine solche, für welche die absoluten Beträge von α-1,β,γ,δ-1 unendlich klein sind, so lassen sich die Gruppen linearer Transformationen in continuirliche und discontinuirliche teilen, je nachdem dieselben infinitesimale Transformationen enhalten oder nicht. Nun bezeichne man weiter eine Gruppe als uneigentlich discontinuirlich in der Nähe eines Punktes ζ, wenn es in einem beliebig klein gewählten, den Punkt einschliessenden Bereich unendlich viele Punkte giebt, welche aus dem anfäglichen durch Transformationen der Gruppe hervorgehen; ist dies nicht der Fall, so heisst sie eigentlich discontinuirlich. Mit Einführung dieser Terminologie hat man die folgenden beiden Sätze:

3a) Eine Gruppe reeller Transformationen kann uneigentlich discontinuirlich sein für die Punkte der reellen Axe in der ζ-Ebene, ohne darum continuirlich zu sein; ist sie aber uneigentlich discontinuirlich auch für complexe Punkte ζ, so anhält sie infinitesimale Substitutionen, d. h. sie ist continuirlich. 3b) Eine Gruppe allgemeiner linearer Transformationen (mit complexen Coefficienten) kann uneigentlich discontinuirlich sein für alle Punkte der ζ-Ebene, obne darum continuirlich zu sein; ist sie aber uneigentlich discontinuirlich auch für Punkte des Raumes (in welchem wir nach 2) die Substitutionen deuten können), so ist sie continuirlich.

Nur die in der ζ-Ebene eigentlich discontinuirlichen Gruppen können, wenn es sich um Functionen einer Veränderlichen ζ handelt, in Betracht gezogen werden. Ihnen entprechen Gebietseinteilungen, stets aus Kreisbogenpolygonen zusammensetzbar, in der ζ-Ebene und daraus abzuleitende Einteilungen, stets aus von Kugelschalen begrenzten Polyedern bestehend, im Raume. Das Verhalten der Gruppe ist nur für gewisse (discret verteilte) Linien und Punkte uneigentlich discontinuirlich. Für die letzteren Gruppen ergiebt sich eine Einteilung nach dem Geschlechte und nach Familien in Analogie mit der bei den Fuchs’schen Gruppen getroffenen Einteilung (siehe F. d. M. XIV. 1882. 342, JFM 14.0338.01). Weiter erscheint es wichtig, diejenigen Gruppen als eine erste Art besonders hervorzuheben, welche durch eine Variation der Constanten [bei welcher die Polygone der Gebietseinteilung in ihren Dimensionen, nicht aber in ihrer gegenseitigen Lage geändert werden] in Fuchs’sche Gruppen übergeführt werden können. Die allgemeinen Sätze werden an einer Reihe besonders charakteristischer Beispiele ausfürlicher erörtert. Die zum Schlusse gegebenen Sätze über die “Klein’schen Functionen” fixiren die Aufstellung der jene Gruppen zulassenden Functionen in Analogie mit den Fuchs’schen Functionen durch Quotientenbildung aus den auch dort angewandten 𝛩-Functionen

𝛩(z)=Hα i z+β i γ i z+δ i (γ i z+δ i ) -2m ,

wobei die Convergenz dieser Reihe analog dem ersten (Acta I. 194-198 und 208) für die Fuchs’schen 𝛩-Functionen gegebenen Convergenzbeweis zu führen ist. Die Darstellung aller Functionen mit linearen Transformationen in sich aus zweien x,y (zwischen denen eine algebraische Relation besteht) und die Beziehungen zur Differentialgleichung

d 2 v dx 2 =ϕ(x,y)·v,

wo x,y solche Functionen bedeuten, werden (für einzelne, auch bei den Fuchs’schen Functionen besprochene) Beispiele kurz discutirt.


MSC:
30F40Kleinian groups
References:
[1]Nous désignerons suivant l’usage par la notationS la substitution inverse deS, par la notationSS 1 la résultante deS et deS 1, par la notationS n la résultante dem substitutionsS successives.
[2]Les cycles que nous appelons ici elliptiques, paraboliques et hyperboliques sont analogues respectivement aux cycles de la 1cre catégorie, de la 3e sous-catégorie et de la 4e sous-catégorie du Mémoire sur les groupes fuchsiens.
[3]Nous avons vu déjà aux §§ 9 et 11 du Mémoire sur les groupes fuchsiens et au § 2 du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, que tout groupe du 2d ordre de la 2e, de la 4e, de la 6e ou de la 7e familles, est identique à un groupe de la 3e ou de la 5e familles, ou à un groupe du 1er ordre de la 6e ou de la 7e familles. En d’autres termes, si le polygone générateur d’un groupe fuchsien admet un cycle de la 4e sous-catégorie, on peut toujours par le procédé du § 9 le remplacer par un autre polygone n’admettant pas de cycle de cette catégorie. Il en est de même ici.
[4]Pour le sens précis des diverses expressions allemandes que je vais employer, voirCantor:Grundlagen einer Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig, Teubner 1883. Voir aussi la traduction française de ce mémoire:Acta mathematica.2, pag. 381–408.