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On some applications of algebraic continued fractions. (Sur quelques applications des fractions continues algébriques.) (French) JFM 18.0161.02
St. Pétersbourg (1886).

Die Theorie der algebraischen Kettenbrüche und ihrer Anwendungen hat sich in den letzten Jahren durch wichtige Resultate bereichert, besonders Dank den Arbeiten der russischen Mathematiker Tschebyscheff, Markoff, Possé u. a. Die meisten dieser Resultate in einem Buche zusammenzufassen und der mathematischen Welt zugänglicher zu machen ist der Zweck der Arbeit des Herrn Possé. Die Arbeit ist in fünf Capitel geteilt. Das erste Capitel enthält die Beweise der Grundeigenschaften der Näherungsbrüche ϕ n ψ n in der Zelegung das Integralas von der Form a b f(y)dy z-y in einen Kettenbruch. Dann folgen einige Formeln, welche den Zusammenhang zwischen den Nennern der Näherungsbrüche dieses Integrals einerseits und der Integrale

a b (y-a)f(y)dy z-y, a b (b-y)f(y)dy z-y, a b (y-a)(b-y)f(y)dy z-y

andererseits entwickeln, und einige Theoreme über die gegenseitige Verteilung der Wurzeln der betrachteten ganzen Functionen.

Das zweite Capitel enthält die Anwendung der Eigenschaften, welche in dem Capitel 1 bewiesen sind, auf die Bildung des Polynoms der Interpolation nach der Methode der kleinsten Quadrate und auf die Bildung des Restgliedes der Reihe für

a b f(x)𝛺 1 (x)𝛺 2 (x)dx;

diese Reihe ist

m=0 m= a b f(x)𝛺 1 (x)ϕ m (x)dx· a b f(x)𝛺 2 (x)ϕ m (x)dx a b f(x)ϕ m 2 (x)dx·

Für alle Anwendungen ist es sehr wichtig, den Ausdruck des Restgliedes der Reihe zu kennen. Der Herr Verfasser reproducirt hier die Analyse, die er schon früher veröffentlicht hat (Darboux Bull. (2) VII. 214, vgl. F. d. M. XV. 1883. 237, JFM 15.0237.01). Der Ausdruck für das Restglied ist

R n = a b ϕ n 2 (x)f(x)dx d n ϕ n dx n 𝛺 1 (n) (ξ)𝛺 2 (n) (η),

wo ξ und η zwei Zahlen zwischen a und b sind. Auf diesem Ausdrucke des Restgliedes beruht der Beweis der Tschebyscheff’-schen Ungleichheiten: 0 1 uvdx> 0 1 udx· 0 1 vdx, wenn die Functionen u,v gleichzeitig zu- oder abnehmem zwischen den Grenzen 0 und 1 der Veränderlichen, und

0 1 uvdx< 0 1 udx· 0 1 vdx

im entgegengesetzten Falle.

Das dritte Capitel handelt von den Eigenschaften der Functionen T n welche den Legendre’schen ähnlich sind, d. h. der Nenner der Näherungsbrüche der Zerlegung des Integrals

-1 +1 (1+y) α-1 (1-y) β-1 z-ydy·

Alle diese Eigenschaften: die Differentialgleichung, der diese Functionen genügen, der Ausdruck der Function T n durch die n fache Derivirte, die Ausdrücke der erzeugenden Function für T n , der Discriminante und einiger anderer symmetrischen Functionen der Gleichung T n (z)=0 und das Theorem von Stieltjes über das Maximum der Function

𝛱(x i -x k ) 2 (1+x 1 ) α (1+x n ) α (1-x 1 ) β (1-x n ) β ,

sind aus der Definitionsgleichung der Functionen T n :

-1 +1 (1+z) α-1 (1-z) β-1 T n ·θ n-1 dz=0,

wo θ n-1 eine willkürliche ganze Function des Grades n-1 ist, entwickelt.

Das vierte Capitel enthält die Anwendung der Theorie des ersten Capitels auf die angenäherte Berechnung der Integrale. Man hat nämlich

a b f(x)𝛺(x)dx= i=1 i=n ψ n (z i ) ϕ n ' (z i )𝛺(z i )+R n ,

wo z i die Wurzeln der Gleichung ϕ n (z)=0 sind und R n eine lineare Function der Coefficienten a 2n ,a 2n+1 , in der Entwickelung der Function 𝛺 in die unendliche Reihe:

a 0 +a 1 x++a 2n x 2n +

Man kann immer zwei Grenzen bestimmen, zwischen welchen R n enthalten ist. Für diesen Zweck benutzt der Verfasser die Hermite’sche Interpolationsformel (Borchardt J. XXXIV., F. d. M. IX. 1877. 312, JFM 09.0312.02). Man erhält dann für R n den Ausdruck

𝛺 (2n) (ζ) 1·22n a b ϕ n 2 (z)·f(z)dz,

wo ζ zwischen den Grenzen a und b liegt. Dieser Ausdruck ist zuerst von Herrn Markoff in seiner Arbeit gegeben: “Ueber einige Anwendungen der algebraischen Kettenbrüche”. (F. d. M. 1885. XVII. 168., JFM 12.0168.01) Dieselbe Hermite’sche Formel giebt jetzt dem Verfasser auch andere ähnliche Ausdrücke für die angenäherte Berechnung der Integrale, in welche die Functionen W n ,U n ,V n , d. h. die Nenner der Näherungsbrüche der Integrale

a b f(y)(y-a)(b-y)dy z-y, a b f(y)(y-a) z-ydy, a b f(y)(b-y) z-ydy

eintreten. Auf diese Ausdrücke stützt sich der Beweis der vier Ungleichheiten, welche von Herrn Markoff in dem oben citirten Werke bewiesen sind.

Das fünfte Capitel ist der Lösung des Problems gewidmet, das Maximum und das Minimum des Integrals a x 𝛺(y)f(y)dy nach den gegebenen Werten der Integrale

a b f(y)dy, a b yf(y)dy,, a b y μ f(y)dy

zu finden, wo x eine gegebene Zahl zwischen den Grenzen a und b ist, f(y) keine negativen Werte annehmen kann. Das Problem ist bekanntlich von Tschebyscheff gestellt für den Fall 𝛺(y)=1 ist seiner Abhandlung: “Sur les valeurs limites des intégrales” (Journ. de Math. 1874); die erste ausführliche Lösung des Problems in seiner Allgemeinheit ist von Herrn Markoff in dem oben citirten Werke gegeben; die Ausnutzung der Eigenschaften der Functionen U n ,V n ,W n gestattet jedoch Herrn Posse, die Beweise in einfacherer Gestalt zu liefern; er giebt auch einige neue Sätze in Bezug auf die Verteilung der Wurzeln verschiedener Gleichungen, welche zur Lösung der betrachteten Frage unentbehrlich sind.

Weiter zeigt der Verfasser, wie seine Formeln für die Auffindung des Maximums und Minimums des Integrals

a x 𝛺(z)f(z)dz

in die Formeln übergehen, welche von Herrn Tschebyscheff in der Abhandlung: “Sur la représentation des valeurs limites des intégrales” für den speciellen Fall 𝛺=1 gegeben sind.

Am Ende sind einige Fragen der Maxima und Minima beantwortet, welche sich auf die früher gelöste Aufgabe reduciren, z. B. die Frage, das Maximum und Minimum der Function f(x) zwischen den Grenzen 0 und 1 zu finden nach den gegebenen

s 0 = 0 1 f(y)dy,,s μ = 0 1 y μ f(y)dy

und dem Anfangswerte der Function f(0).

MSC:
30B70Continued fractions (function-theoretic results)
40A15Convergence and divergence of continued fractions
65-99Numerical analysis (MSC2000)