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On the reduction of hyperelliptic integrals of the first order and first kind to elliptic integrals, especially on the reduction by a transformation of the fourth degree. (Ueber die Reduction hyperelliptischer Integrale erster Ordnung und erster Gattung auf elliptische, insbesondere über die Reduction durch eine Transformation vierten Grades.) (German) JFM 18.0407.01
Diss. Göttingen. 4 39 S (1886).

Lange Zeit waren die beiden von Jacobi (Crelle J. VIII. 416 und Ges. Werke I. 382) gegebenen Integrale für ϱ=2, die sich durch rationale Transformationen zweiten Grades auf elliptische Integrale reduciren liessen, das einzige Beispiel einer solchen Reduction. Herr Hermite fügte ihnen im Jahre 1876 als zweites Beispiel zwei Integrale erster Gattung hinzu, die durch Transformationen dritten Grades auf je ein elliptisches reducirbar waren (s. F. d. M. VIII. 278, JFM 08.0278.01). Seitdem ist das Problem der Reduction Abel’scher Integrale auf elliptische Gegenstand zahlreicher Arbeiten von Königsberger, Brioschi, Goursat, Picard u. a. geworden. Erster wies schon im Journ. für Math. Bd. LXVII nach, dass die oben erwähnten Jacobi’schen Integrale die beiden allgemeinsten durch eine rationale Transformation zweiten Grades reducirbaren Integrale sind. Gousart teilte die allgemeinsten durch eine Transformation dritten Grades reducirbaren Integrale mit (s. F. d. M. XVII. 466 u. 468, JFM 17.0466.01 u. JFM 17.0468.01), und Herr Bolza gab 1885 die allgemeinsten hyperelliptischen Integrale erster Gattung und erster Ordnung, die durch eine Transformation vierten Grades auf elliptische zurückführbar sind (s. F. d. M. XVII. 468, JFM 17.0468.02). Während diese Beispiele auf rein algebraischem Wege gefunden wurden, benutzten Königsberger (a. a. O. LXVII. 72) und Pringsheim (Clebsch Ann. IX. 461) die Transformation der ϑ Functionen, ebenso Hanel (Diss. Berlin 1882). Herr Weierstrass hatte den Satz bewiesen, dass man im Falle der Reducirbarkeit durch eine Transformation höheren Grades zu einem System transformirter ϑ-Moduln, in welchen τ 12 ' =0 ist, gelangen kann.

In der vorliegenden Arbeit wird nun die Reduction durch eine Transformation vierten Grades vollständig durchgeführt mit Hülfe eines zweiten von den Herren Weierstrass und Picard gegebenen, für die Behandlung des Problems wichtigen Satzes, welcher lautet: “Wenn ein zu dem hyperelliptischen Gebilde

y 2 =R(x)

vom Range 2 gehöriges Integral algebraisch auf ein elliptisches Integral reducirbar ist, so giebt es unter den unendlich vielen zu dem Gebilde gehörigen Systemen von ϑ-Moduln mindestens eines, für welches τ 12 =1 k, wo k eine positive ganze Zahl ist.” (S. v. Kowalewski, Acta Math. IV. 393 und Picard, S. M. F. Bull. XII. 153; s. F. d. M. XVI. 426., JFM 16.0426.04) Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit wird nun die Aufgabe gelöst, alle Systeme von ϑ-Moduln, in denen τ 12 =1 k, zu finden, sobald ein solches existirt. Alsdann wird eine von der Richelot’schen Normalform, die Herr Picard seinen Untersuchungen über die Reduction hyperelliptischer Integrale erster Ordnung zu Grunde gelegt, verschiedene Normalform hergestellt. Diese Herstellung und die Untersuchung der linearen Transformation derselben bilden den Inhalt des zweiten Teils. Nach dem Satze von Weierstrass und Picard giebt es stets zwei zu demselben Gebilde gehörige durch Transformation k ten Grades reducirbare Integrale erster Gattung, sobald es überhaupt eines giebt. Während nun das eine derselben auf algebraischem Wege leicht herzustellen war, machte die Bestimmung des zweiten Integrals bisher grosse Schwierigkiten. Mit Hülfe der im zweiten Teil gewonnenen Principien gelingt es jetzt Herrn Bolza, zu zeigen, dass das zweite Integral und die zugehörige reducirende rationale Function ohne alle Rechnung, durch eine blosse Buchstabenvertauschung gefunden werden kann.

Der dritte, vierte und fünfte Teil der Arbeit enthält nun die vollständige Lösung des Reductionsproblems für k=4 mit Hülfe der ϑ-Functionen. Nach Aufstellung der Bedingungsgleichungen zwischen den Wurzeln der ganzen Function sechsten Grades werden die Constanten der beiden reducirbaren Integrale als algebraische Functionen zweier unabhängigen Parameter dargestellt, und dann wird die rationale Function vierten Grades gewonnen, durch welche die Reduction geleistet wird.


MSC:
14K20Analytic theory; abelian integrals and differentials
14K25Theta-functions
14H45Special curves and curves of low genus