zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
The applications of elliptic functions. (English) JFM 24.0410.02
London. Macmillan and Co. XI + 357 S. 8 (1892).

Der Inhalt dieses Buches wird durch den Titel nicht genau bezeichnet. Herr Greenhill will nicht etwa die Theorie der elliptischen Functionen, wie sie gegenwärtig ausgebildet ist, “anwenden”, das heisst mit ihrer Hülfe Probleme anderer Disciplinen behandeln, vielmehr setzt er bei seinen Lesern, die er sich als “Studirende der angewandten Mathematik” denkt, keine Kenntnis dieser Functionen voraus und hat die Absicht, indem er von wichtigen Problemen der Geometrie und Physik ausgeht, deren vollständige Lösung mit elementaren Mitteln nicht möglich ist, eine Einführung in die Theorie der elliptischen Functionen zu liefern.

Die Ergebnisse moderner analytischer Forschungen den Physikern zugänglich zu machen und auf diese Weise die leider recht locker gewordene Verbindung zwischen Mathematik, und Physik wieder fester zu gestalten, das ist ein Unternehmen, welches gewiss Anerkennung verdient. Freilich möchte es dem Referenten scheinen, als ob Herr Greenhill dieses Ziel manchmal aus dem Auge verloren hat; denn es finden sich in seinem Buche, wie die nachfolgende Inhaltsangabe bestätigen wird, umfangreiche Capitel rein analytischer Natur, deren Verständnis kein unbeträchtliches Mass algebraischer und functionentheoretischer Vorkenntnisse verlangt. Sie werden dem Physiker schwerlich viel Freude bereiten, während auf der anderen Seite der Mathematiker zwar viele originelle EntwickeInngen mit Genuss lesen, aber an verschiedenen Stellen die vollkommene Strenge der Deduction schmerzlich vermissen wird. Mehr Beispiele, und es giebt deren noch in Fülle, und eingehendere Behandlung der Beispiele, das dürfte dem Zwecke des Buches besser entsprochen haben. Unter allen umständen aber ist das Werk des Herrn Greenhill eine bemerkenswerte Erscheinung in einem Lande, wo bis vor kurzem bei den mathematischen Prüfungen eine auch nur elementare Kenntnis der elliptischen Functionen nicht verlangt wurde.

Um nunmehr darüber zu berichten, wie der Verfasser sein Programm durchführt, so beginnt das erste Capitel mit der Behandlung des Kreispendels, die sofort auf ein elliptisches Integral erster Gattung in der Legendre’schen Normalform führt, und hieraus ergiebt sich die Veranlassung, die einfachsten Eigenschaften der elliptischen Functionen zu entwickeln, soweit das bei Beschränkung auf reelle Werte der Veränderlichen möglich ist. Im Anschlusse hieran wird im zweiten Capitel die Reduction auf die Normalformen von Legendre und Weierstrass gelehrt, wobei freilich, die Beweise der Formeln meist dem Leser überlassen bleiben. Dass die durchgängige (in England übliche) Anwendung der Bezeichnung Clifford’s, wonach u=sn -1 (x) die Umkehrung von x=snu ist, dem Anfänger das Eindringen in die Theorie der elliptischen Functionen erleichtert, möchte der Referent bezweifeln. Das dritte, recht frisch und anregend geschriebene Capitel bringt eine Reihe hübscher geometrischer und physikalischer Anwendungen der elliptischen Functionen, wobei nur von verhältnismässig elementaren Eigenschaften derselben Gebrauch gemacht wird. Aehnliches gilt von dem vierten, sechsten und siebenten Capitel, in denen der Reihe nach das Additionstheorem, die Integrale zweiter und dritter Gattung und die allgemeinen elliptischen Integrale nebst ihren Anwendungen behandelt werden, und auch vom achten, wo die doppelte Periodicität der elliptischen Functionen mit der conformen Abbildung in Zusammenhang gebracht und dadurch die Lösung von Problemen aus der Theorie der elektrischen Ströme erzielt wird.

Dagegen ist das sechste Capitel, welches sich auf die algebraische Form des Additionstheorems bezieht, rein theoretischen Inhalts, und dasselbe ist vom neunten und zehnten Capitel zu sagen, deren Gegenstände die Reihen- und Productentwickelung der elliptischen Functionen und die Transformationstheorie sind; denn die einführenden physikalischen Probleme sind unbedeutend gegenüber der Ausdehnung und Mannigfaltigkeit des Inhalts dieser Capitel, die freilich, vom mathematischen Standpunkte aus betrachtet, recht interessant sind und für Studirende, die in der Theorie der elliptischen Functionen schon Fortschritte gemacht haben, viel Lehrreiches bieten dürften.

Hervorgehoben zu werden verdient auch, dass Herr Greenhill die neuere französische und deutsche Litteratur über elliptische Functionen, die in England wenig bekannt zu sein scheint, in ausreichender Weise berücksichtigt.