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The principle of greatest common divisor in its applicability to the divisibility of algebraic numbers. (Das Princip des grössten gemeinsamen Teilers in seiner Anwendbarkeit auf die Teilbarkeit algebraischer Zahlen.) (Polish) JFM 25.0297.04

Die Abhandlung entwickelt die Grundlagen einer elementaren Theorie der algebraischen Zahlen, der Idealzahlen und der Ideale.

Im I. Capitel werden die gewöhnlichen Definitionen der algebraischen ganzen Zahl, des Bereiches solcher Zahlen, des Fundamentalsystems u. s. w. aufgestellt. Im II. Capitel wird die “Aequivalenz nach einem gegebenen Modul” behandelt. Zu diesem Zwecke werden zuerst die “Ordnungen” der algebraischen Zahlen eingeführt. Die Ordnung der algebraischen Zahl α nach dem Primzahlmodul p ist der Exponent a der höchsten noch in der Norm N(α) der gegebenen Zahl aufgehenden Potenz von p; sie wird also mittels der Gleichung

N(α)=p a h

bestimmt, in welcher h eine gewöhnliche ganze, durch p nicht teilbare Zahl bedeutet. Weiter wird die Teilbarkeit der Zahl α durch β modulo p folgendermassen definirt: “Ist das Verhältnis γα β, wo γ relativ prim zum Modul p ist, eine ganze Zahl, dann heisst α durch β modulo p teilbar”. Aequivalent modulo p, in Zeichen:

β= ·α(modp),

heissen zwei Zahlen α und β, wenn gleichzeitig α teilbar durch β und β teilbar durch α mod. p ist. Es werden dann die Einteilung nach den Klassen der Aequivalenz, der Begriff des Productes der Klassen und des Teilers der Klasse eingeführt.

Im III. Capitel begründet der Verfasser den in seiner Theorie fundamentalen Satz: “Sind α und β zwei von Null verschiedene Zahlen, α nicht teilbar durch β mod. p, so kann man immer eine solche ganze Zahl ω bestimmen, dass die Ordnung der Differenz α β-ω kleiner ist als die Ordnung des Verhältnisses α β”. Auf Grund dieses Satzes darf man auf zwei Zahlen, deren keine durch die andere mod. p teilbar ist, das Euklidische Verfahren des Aufsuchens des grössten gemeinsamen Teilers anwenden (Capitel IV), und man gelangt auf diesem Wege zur Definition des grössten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen, der relativen Primzahlen u. s. w.

Im Capitel V wird als Hauptrepräsentant einer gegebenen Klasse eine solche Zahl gewählt, deren Norm der Gleichung ±N(α)=p a Genüge leistet; a ist die Ordnungszahl der Klasse. Um Ausnahmen auszuschliessen, nimmt man an, dass eine jede Klasse solche “idealen” Hauptrepräsentanten besitzt, indem man das Wort “ideal” in einer der beiden Bedeutungen: “existirend” oder “nicht existirend” auffasst. Auf diese Weise kann man die Sätze der Zahlentheorie ganz allgemein ausdrücken.

Die Gesetze der “absoluten” Teilbarkeit der Zahlen (VI. Capitel) beruhen auf den folgenden zwei Theoremen: 1. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass α teilbar ist durch β, ist die, dass α teilbar ist durch β in Bezug auf jeden in der Norm N(β) enthaltenen Modul. 2. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass α und β relativ prim zu einander sind, ist, dass α und β relativ prim zu einander sind in Bezug auf jeden gleichzeitig in den Normen N(α) und N(β) enthaltenen Modul.

Die durch das System

x= ·α(modp),x= ·β,(modq),x= ·γ,(modr),·······±N(x)=p a q b r c

definirte Idealzahl x wird durch das Symbol

x=αpβqγr····

bezeichnet. Aus dieser Definition und Bezeichnung folgen dann mit Leichtigkeit alle wichtigeren Eigenschaften der Idealzahlen (Capitel VII).

Das VIII. Capitel ist der Theorie der Dedekind’schen Ideale gewidmet. Das Ideal wird als Inbegriff aller Zahlen

a 0 Ω 0 +a 1 Ω 1 ++a n-1 Ω n-1 ,

wo a 0 , a 1 , ... gegebene und Ω 0 , Ω 1 , ... willkürliche ganze Zahlen sind, definirt. Die Gleichheit J 1 =J 2 zweier Ideale bestimmt man so, dass jede im ersten enthaltene Zahl auch im zweiten enthalten ist, und umgekehrt. Der Inbegriff aller durch die Idealzahl δ teilbaren Zahlen hat das Ideal J(δ). Es ist möglich, für jedes J ein solches δ aufzufinden, dass J=J(δ) sei. Es wird dann nach Dedekind das Product J 1 J 2 zweier Ideale definirt und der Satz J(α)J(β)=J(αβ) bewiesen. Ist α eine “existirende” Zahl, dann heisst J(α) das “Hauptideal”. Zu jedem J(β) kann man ein solches J(γ) bestimmen, dass J(β)J(γ) ein Hauptideal wird.

Das letzte (IX.) Capitel enthält die Untersuchungen über die Congruenzen, deren Modul eine Idealzahl ist.


MSC:
11R04Algebraic numbers; rings of algebraic integers