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The principle of greatest common divisor in its applicability to the divisibility of algebraic numbers. (Das Princip des grössten gemeinschaftlichen Teilers in seiner Anwendung auf die Theorie der algebraischen Zahlen.) (Russian) JFM 25.0300.01
St. Petersburg (1893).

Das Buch enthält eine klar und elegant durchgeführte Theorie der Teilbarkeit der algebraischen Zahlen. Diese Theorie, beruht auf den folgenden Definitionen. Die höchste Potenz von p, durch welche die Norm der Zahl α teilbar ist, heisst die Ordnung der Zahl α. Die Zahlen der Ordnung Null sind relativ prim mit p, und umgekehrt; solche Zahlen heissen gleichmächtig mit den Einheiten nach dem Modul p. Wenn das Verhältnis γα β eine ganze Zahl ist und γ prim mit p, d. h. gleichmächtig mit 1, so ist α durch β teilbar nach dem Modul p. Die Eigenschaften dieser Teilbarkeit nach dem Modul p sind ganz analog den Eigenschaften der Teilbarkeit in dem gewöhnlichen Sinne des Wortes. Zwei Zahlen α und β heissen gleichmächtig nach dem Modul p, wenn gleichzeitig α durch β und β durch α teilbar nach dem Modul p sind. Um dieses Verhältnis der Zahlen α und β darzustellen, gebraucht der Verfasser das Zeichen α= ·β (mod. p). Diese “Gleichungen” besitzen Eigenschaften, die ganz analog den Eigenschaften der gewöhnlichen Gleichungen sind. Alle Zahlen, die gleichmächtig nach dem Modul p sind, bilden eine und dieselbe Klasse. Die Betrachtung der Klassen führt zu dem Theorem: “Jede gegebene Zahl hat nach dem Modul p eine endliche Anzahl von Teilern, die ungleichmächtig sind; man erhält alle diese Teiler mit Hülfe einer endlichen Anzahl von Operationen”. “Wenn α und β zwei ganze Zahlen sind, von denen β nicht durch α nach dem Modul p teilbar ist, so kann man immer eine ganze Zahl ω so finden, dass die Ordnung der Differenz α β-ω kleiner als die Ordnung der Differenz α β ist”; dieses Theorem bildet die Grundlage der Theorie des grössten gemeinschaftlichen Teilers und der Gesetze der Teilbarkeit nach dem Modul p. Die Gesetze der absoluten oder gewöhnlichen Teilbarkeit werden auf die Gesetze der Teilbarkeit nach dem Modul p zurückgeführt mit Hülfe der folgenden Theoreme: 1) “Damit α durch β teilbar sei, ist es notwendig und hinreichend, dass α durch β sich teilt nach jedem der Moduln, die Primfactoren der Norm der Zahl β sind.” 2) Damit die Zahlen α und β relativ prim seien, ist es notwendig und hinreichend, dass die Zahlen α und β relativ prim sind nach jedem der Moduln, die gleichzeitig die Primfactoren der Zahlen α und β sind. Es sei N(α)=±p a q b r c ; es muss jeder Teiler δ der Zahl α ein Teiler dieser Zahl nach den Moduln p, q, r, ... sein; wenn δ 1 , δ 2 , δ 3 , ... mehrere Teiler der Zahl α bezeichnen respective nach den Moduln p, q, r, ..., so hat man für die Bestimmung des Teilers δ folgende Bedingungen:

δ= ·δ 1 (modp),δ= ·δ 2 (modq),δ= ·δ 3 (modr),········N(δ)=±p a ' q b ' r c ' (A)

Die Zahl δ kann eine existirende oder eine ideale sein. Auf der Betrachtung der Bedingungen (A) beruht die von dem Verfasser gegebene Theorie der idealen Zahlen. Die Theorie der Ideale von Dedekind wird auf die Theorie der idealen Zahlen zurückgeführt. Zum Schlusse betrachtet der Verfasser die Congruenzen nach dem Modul, der eine ideale Zahl ist.


MSC:
11R04Algebraic numbers; rings of algebraic integers