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On the roots of the Bessel and certain related functions. (English) JFM 25.0842.02

Der Verfasser zeigt, wie man die semiconvergenten Reihen für die Bessel’schen Functionen zur Berechnung der Nullwerte dieser Functionen benutzen kann. Dazu führt er in die Gleichung

1 2πxJ n (x)=cos(x-1 4π-1 2nπ)ϕ n (x)+sin(x-1 4π-1 2nπ)ψ n (x),

worin ϕ und ψ die semiconvergenten Reihen sind, einen Hülfswinkel ϑ durch die Gleichung

tanϑ=ψ n (x) ϕ n (x)

ein und entwickelt daraus ϑ nach fallenden Potenzen von x. Der gesuchte Nullwert hat aber die Form x=β+ϑ. Durch Einsetzung der Reihe für ϑ und Anwendung der Lagrange’schen Umkehrungsformel enthält man daraus für die s te Wurzel der Gleichung J n (x)=0 eine Reihe, die nach fallenden Potenzen von β=1 4π(2n-1+4s) fortschreitet. Indessen werden überall nur die ersten Glieder der Reihen berechnet, das allgemeine Glied hat der Verfasser nicht ermittelt; ebensowenig bringt er irgend etwas über die Convergenz der Reihen bei.

Nach derselben Methode werden noch die ersten Glieder der Reihen für die Wurzeln der Gleichungen

J n ' (x)=0,K n (x)=0,K n ' (x)=0

(K n ist die Bessel’sche Function zweiter Art), endlich die der Gleichungen

K n (x) J n (x)=K n (ϱx) J n (ϱx),K n ' (x) J n ' (x)=K n ' (ϱx) J n ' (ϱx),

in denen ϱ eine gegebene Zahl ist, berechnet.