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A two-fold generalization of Fermat’s theorem. (English) JFM 27.0139.05

Der Fermat’sche Satz a p -a0(mod.p), wo p eine Primzahl und a eine beliebige ganze Zahl ist, wird zunächst so verallgemeinert: Die beiden Formen in den zwei unbestimmten X 0 ,X 1 :

D[2,1;p](X 0 ,X 1 )=X 0 X 1 p -X 0 p X 1 ,P[2,1,p](X 0 ,X 1 )=𝛱(a 0 X 0 +X 1 )(a 0 =0,1,,p-1)

sind identisch congruent (mod. p). Dann wird dieser Satz auf k+1 Unbestimmte ausgedehnt. Alle modulo p congruenten ganzen Zahlen bilden eine “Klasse”, die p incongruenten Klassen ein “Feld” F(p) von der Ordnung p und dem Range 1. Die p “markirt” gedachten Klassen von F(p) können durch die vier ersten Grundoperationen der Arithmetik mit einander verbunden werden. Der Begriff des Feldes F(p) wird dann ferner erweitert zu dem Galois-Felde GF(p n ) von der Ordnung p n , dem Modulus p und dem Range n mit p n Marken α das demnach nur für p=Primzahl,n=positiverganzerZahl definirt ist. Die vom Verf. gegebene Verallgemeinerung des Fermat’schen Satzes lautet nun: Die beiden Formen in den k+1 Unbestimmten X 0 ,X 1 ,,X k :

D[k+1,n;p](X 0 ,X 1 ,,X k )|X j p ni |(i,j=0,1,,k),P[k+1,n;p](X 0 ,X 1 ,,X k )𝛱 * Σa g X g (g=0,1,,k),

wo das Product 𝛱 * die (p n(k+1) -1)/(p n -1) verschiedenen primitiven linearen homogenen Formen 𝛴a g X g umfasst, welche zu GF(p n ) gehören, sind identisch.


MSC:
11T99Finite fields and commutative rings (number-theoretic aspects)