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On the composition of quadratic forms of arbitrary many variables. (Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln.) (German) JFM 29.0177.01

Besteht zwischen drei quadratischen Formen φ(x 1 ,x 2 ,,x n ), ψ(y 1 ,y 2 ,,y n ), χ(z 1 ,z 2 ,,z n ) von je n Variabeln die Relation φ·ψ=χ identisch, falls die z gewisse bilineare Functionen der x und y sind, so sagt man, die Form χ entstehe durch Composition der Formen φ und ψ. Da man eine quadratische Form vermöge einer linearen Substitution mit complexen Coefficienten auf eine Summe von Quadraten transformiren kann, so kann man bei der Frage nach der Möglichkeit der Composition die Gleichung φ·ψ=χ sogleich durch die folgende ersetzen:

(x 1 2 +x 2 2 ++x n 2 )(y 1 2 +y 2 2 ++y n 2 )=z 1 2 +z 2 2 ++z n 2 ·(1)

Der Verf. beweist den wichtigen Satz, dass die Möglichkeit der Composition an die Variabelnanzahlen n=2,4 oder 8 geknüpft ist. Es ist hierdurch die Frage, ob die für die eben genannten Anzahlen n bereits bekannten Productformeln (1) auch für n>8 verallgemeinert werden können, im verneinenden Sinne beantwortet.

Das Verfahren, vermöge dessen der Verf. das genannte Theorem beweist, erscheint auch an sich sehr bemerkenswert. Es beruht auf einer “Rechnung mit linearen Transformationen”, welche wohl zuerst von Cayley angewandt wurde. Die einzelne bilineare Transformation wird durch

z i =a i1 y 1 +a i2 y 2 ++a in y n (i=1,2,,n)(2)

Angesetzt, wo die a lineare Functionen der x 1 ,,x n sind. Symbolisch wird die Transformation (2) durch

A=a 11 ,a 12 ,,a 1n a 21 ,a 22 ,,a 2n a n1 ,a n2 ,,a nn

bezeichnet; und es gestattet A die Anordnung nach den x:

A=x 1 A 1 +x 2 A 2 ++x n A n ,

wo A 1 ,A 2 ,,A n Transformationen mit constanten Coefficienten sind. Für letztere entspringt aus (1) eine Reihe von Beziehungen, aus denen unter anderem eine Reduction der A 1 ,A 2 ,,A n auf (n-1) Transformationen B 1 ,B 2 ,,B n-1 folgt: Der Nerv des Beweises ist, dass zwischen den letzteren Transformationen solche Relationen bestehen, dass durch ihre Combination mindestens 2 n-2 linear-unabhängige Transformationen hergestellt werden können. Da aber die einzelne in Rede stehende Transformation n 2 constante Coefficienten hat, so ist 2 n-2 n 2 , woraus n<10 folgt.


MSC:
11E20General ternary and quaternary quadratic forms