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On the properties of the potential and on Abelian functions. (Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes.) (French) JFM 29.0370.02

Nach einem berühmten Satze von Weierstrass lässt sich jede 2n-fach periodische Function von n complexen Variabeln als Quotient zweier Thetafunctionen darstellen, vorausgesetzt, dass die Function im Endlichen meromorph ist (den Charakter einer rationalen Function besitzt). In der vorliegenden umfangreichen Arbeit giebt der Verf. einen neuen Beweis dieses Satzes, dessen Hauptpunkte die folgenden sind:

1. Es sei F eine in einem 2n-fach ausgedehnten Gebiete G holomorphe Function der complexen Variable z k =x k +y k (k=1,2,,n). Die Nullstellen von F bilden eine Mannigfaltigkeit von 2n-2 Dimensionen, die mit C bezeichnet werde. Der reelle Teil von lgF heisse V. Es ist dann V eine Function der 2n reellen Variablen x k , y k , endlich und stetig im Gebiete G nach Ausschluss der Mannigfaltigkeit C; ferner genügt V den bekannten partiellen Differentialgleichungen, insbesondere der Gleichung ΔV=0, die V als “harmonische Function” charakterisirt. Nach einem vom Verf. aufgestellten allgemeinen Satz über harmonische Functionen lässt sich V darstellen als Summe einer im Gebiete G holomorphen harmonischen Function und des Potentials der Mannigfaltigkeit C, wenn auf derselben die Dichte überall gleich 1 genommen wird.

2. Bezeichnet F eine im Endlichen meromorphe Function, so bilden die Nullstellen und die Unendlichkeitsstellen von F zwei Mannigfaltigkeiten C und C ' von 2n-2 Dimensionen, die sich in der Mannigfaltigkeit von 2n-4 Dimensionen durchschneiden, welche von den ausserwesentlich singulären Stellen von F gebildet wird. In einer genügend kleinen Umgebung G einer beliebig angenommenen Stelle lässt sich F als Quotient P Q zweier gewöhnlichen Potenzreihen so darstellen, dass innerhalb G die Punkte von C und C ' bezüglich durch die Gleichungen P=0 und Q=0 definirt werden. Wenn nun F 2n-fach periodisch ist, so lässt sich in bekannter Weise der Raum von 2n Dimensionen in Periodenparallelepipeda R 0 , R 1 , ..., R k , ... einteilen. Das Stück der Mannigfaltigkeit C, welches in R k liegt, heisse C k , und es sei: V k = C k dω ' r 2n-2 das Potential von C k , wobei r den Abstand des Elementes dω ' der Mannigfaltigkeit C k von dem Punkte (x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 ,,x n ,y n ) bedeutet. Bezeichnet U die Summe der Glieder nullter, erster und zweiter Dimension in der Entwickelung von 1 r 2n-2 nach ganzen positiven Potenzen von x 1 ,y 1 ,,x n ,y n , und setzt man S k = C k Duω ' , so erweist sich die Reihe V= k (V k -S k ) als absolut convergent, wenn man die Punkte der Mannigfaltigkeit C ausschliesst. V ist daher ausserhalb C holomorph und harmonisch; ferner ist V-V k holomorph und harmonisch im Innern von R k . Combinirt man hiermit den Satz unter 1., so folgt, dass V-lg|P| im Gebiete G ebenfalls holomorph und harmonisch ist. Aus der Definition von V geht leicht hervor, dass diese Function um eine lineare Function von x 1 ,y 1 ,,x n ,y n wächst, wenn z 1 , z 2 , ..., z n um ein Periodensystem vermehrt werden.

3. Es gelingt nun, eine ganze Function zweiten Grades Z von x 1 ,y 1 ,,x n ,y n so zu bestimmen, dass V-lg|P|-Z den Differentialgleichungen des reellen Teiles einer analytischen Function von z 1 , z 2 , ..., z n genügt. In bekannter Weise erhält man durch Integration eines exacten Differentials den zugehörigen imaginären Teil iT. Setzt man schliesslich ϕ=V-lg|P|-Z+iT, so wird nun P·e ϕ =Θ(z) eine im Endlichen überall holomorphe Function von z 1 , z 2 , ..., z n .

4. Genau in derselben Weise ergiebt sich eine Gleichung der Gestalt Q·e ϕ ' =Θ ' (z) und hieraus

F=P Q=Θ(z) Θ ' (z)e H(z) ,

wobei sich H(z) als ein Polynom zweiten Grades herausstellt. Hiermit ist das Ziel erreicht; denn Θ(z) und Θ ' (z) sind, wie man leicht erkennt, nichts anderes als Thetafunctionen.

Wir bemerken schliesslich noch, dass der Verf. in seiner Abhandlung mehrere interessante Untersuchungen über die Unstetigkeiten der Potentiale aufgenommen hat, Untersuchungen, die allerdings mit dem eigentlichen Ziele der Abhandlung nur in losem Zusammenhange stehen.


MSC:
32A20Meromorphic functions (several variables)