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Vorlesungen über elliptische Functionen. Mit Zusätzen herausgegeben von H. Stahl. (German) JFM 30.0394.01
Leipzig: B. G. Teubner. VIII + 144 S. gr. 8 (1899).

Riemann hat in den Jahren 1855/56 und 1861/62 Vorlesungen “Ueber Functionen einer complexen Veränderlichen, insbesondere elliptische und Abel’sche” gehalten, in denen der Abschnitt über elliptische Functionen ein selbständiges Ganzes bildete, wenn diese auch zunächst als Beispiel zur Theorie der Abel’schen Functionen auftraten. Nachschriften der Vorlesungen von Dedekind, Hattendorf und Schering sind die Grundlage der vorliegenden dankenswerten Veröffentlichung gewesen; ausserdem konnten einige Blätter benutzt werden, auf denen Riemann Notizen für seine Vorlesungen gemacht hat. Der überlieferte Text ist nach Form und Inhalt möglichst unverändert beibehalten worden; nur kleinere, an der betreffenden Stelle angegebene Aenderungen in der Bezeichnung und Anordnung haben stattgefunden. Hinzugefügt ist eine Einteilung in 5 Abschnitte und 22 Paragraphen.

Den 72 Seiten dieses Textes folgen “Erläuterungen und Ergänzungen” von fast demselben Umfange, über deren Zweck Stahl sich folgendermassen ausspricht. Für jeden, der mit den allgemeinen Methoden Riemann’s vertraut ist und die Theorie der elliptischen Functionen von anderer Seite her schon einigermassen kennt, hätte es keiner weiteren Zusätze bedurft. Dagegen könnte ein Leser, der nur mit den allgemeinen Elementen der Functionentheorie bekannt ist, bei dem Studium der Riemann’schen Vorlesung Schwierigkeiten finden, da manche Definitionen und Sätze aus der Theorie der Abel’schen Functionen als bekannt vorausgesetzt und die Formeln manchmal mehr angedeutet als vollständig entwickelt sind. Die Riemann’sche Vorlesung erschien aber gerade didaktisch von hohem Wert und zur Einführung in die Theorie wohl geeignet, wenn das Fehlende passend ergänzt wurde.

Diese Grundsätze des Herausgebers, bei denen Riemann’s Gedankengang unversehrt überliefert und doch den Forderungen, die ein Lehrbuch stellt, genügt wurde, werden gewiss allgemeine Anerkennung finden.

Der erste Abschnitt der Vorlesungen bildet eine Einleitung und enthält allgemeine Sätze über einwertige doppeltperiodische Functionen. Riemann beweist, dass eine solche Function in den Periodenparallelogrammen notwendig unendlich wird, und zeigt mittels des über die Begrenzung des Parallelogramms erstreckten Integrals, dass die Summe der Residuen Null und die Anzahl der Nullstellen gleich der Anzahl der Unendlichkeitsstellen ist. Er beschäftigt sich dann mit den doppeltperiodischen Functionen zweiter Ordnung φ(u) und gelangt zu dem Satze, dass sie die oberen Grenzen von elliptischen Integralen erster Gattung sind. Während er hier einen Weg einschlägt, der von Liouville zuerst betreten wurde, ist ihm eigentümlich die Betrachtung der conformen Abbildung eines Periodenparallelogramms auf eine zweiblättrige Fläche T, die durch zwei Schnitte zu einer einfach zusammenhängenden Fläche T ' gemacht wird.

“Das Integral erster Gattung und die elliptischen Functionen” ist der Gegenstand des zweiten Abschnittes. Besteht zwischen den Veränderlichen z und s eine biquadratische Gleichung, so ergiebt sich daraus durch rationale Transformation die Nomalform:

y 2 =x(1-x)(1-k 2 x),

die in der späteren Litteratur gelegentlich als Riemann’sche Normalform bezeichnet worden ist. Die Betrachtung des Integrals erster Gattung führt dann zu den Functionen snu, cnu, dnu, deren Periodicitätsmoduln durch die über die Schnitte der Fläche T ' erstreckten Integrale gegeben werden. Dabei beschränkt sich Riemann auf den Fall, dass k 2 ein positiver echter Bruch ist. Den Schluss bilden wieder Betrachtungen über die conforme Abbildung von Rechtecken.

Zur analytischen Darstellung der elliptischen Functionen und Integrale, denen der dritte Abschnitt gewidmet ist, gelangt Riemann durch die Bemerkung, dass die Differenz

snu-πi kK - + q n+1 2 s 1 2 s-q 2n+1 s=e πiu K

für alle Werte von u endlich bleibt. Hieraus ergiebt sich die Partialbruchzerlegung von snu, cnu, dnu. Es folgt die Darstellung dieser Functionen durch trigonometrische Reihen. Die Darstellung als Quotienten unendlicher Producte, die bez. für die Null- und Unendlichkeitsstellen verschwinden, führt alsdann zu den Thetafunctionen. Die so gewonnenen Ergebnisse werden angewandt auf die Darstellung elliptischer Integrale durch die Thetafunctionen. Riemann’s Verfahren ist von grossem historischen Interesse, denn es ist dasselbe, dessen sich später Hermite und Weierstrass zur Lösung dieser Aufgabe bedient haben (“Zerlegung in einfache Elemente”).

Die Addition, Transformation und Multiplication der elliptischen Functionen werden im vierten Abschnitt behandelt. Zu dem Additionstheorem gelangt Riemann, indem er zuerst zeigt, dass jede doppeltperiodische Function mit den Perioden 2K und 2K ' i sich rational durch sn 2 u und dessen Ableitung ausdrücken lässt, und dann diesen Satz auf

sn(u+v) snu,cn(u+v) cnu,dn(u+v) dnu

anwendet. Ueber die Ausführungen in Betreff der Transformation und Multiplication ist nichts Besonderes zu sagen.

Diese ersten vier Abschnitte, die aus der Vorlesung vom Jahre 1861/62 entnommen sind, bilden eine Einleitung in die Theorie der elliptischen Functionen, deren Gedankengang im wesentlichen derselbe ist, wie in der ersten Auflage der Théorie des fonctions doublement périodiques von Briot und Bouquet (Paris 1859). Eigentümlich für Riemann ist gegenüber den französischen Forschern die ausgiebige Verwendung geometrischer Vorstellungen, die, wie Stahl sagt, “die wesentlichen Eigenschaften der elliptischen Functionen plastisch hervorheben und zugleich unmittelbar Aufschluss geben über die Fundamentalwerte und die Realitätsverhältnisse der Functionen und Integrale, die besonders auch für die Anwendungen wichtig sind.” Es ist das, wie der Referent hervorheben möchte, um so interessanter, als man in neuester Zeit sich von der ausschliesslich analytischen Behandlungsweise der elliptischen Functionen frei zu machen und den Realitätsverhältnissen die gebührende Aufmerksamkeit zuzuwenden begonnen hat (vergl. F. d. M. 29, 381, 1898, JFM 29.0381.01).

Der fünfte Abschnitt beruht auf den Vorlesungen des Jahres 1855/56; er enthält einen kurzen Abriss der Theorie der elliptischen Functionen, ausgehend von den Thetafunctionen. Bekanntlich hat Jacobi in einer Vorlesung vom Jahre 1838, die Borchardt ausgearbeitet und Weierstrass 1881 herausgegeben hat, eine solche Theorie gegeben. Aller Wahrscheinlichkeit nach hat Riemann diese Vorlesung nicht näher gekannt. Seine Behandlung ist, weniger vollständig und einheitlich als die Jacobi’s, bietet indessen interessante Besonderheiten, z. B. die Bestimmung der Thetafunction für den Nullwert des Argumentes durch k und K mittels der partiellen Differentialgleichung, der ϑ(v|τ) als Function von v und τ genügt.

Es folgen die schon erwähnten Erläuterungen. Den Schluss bildet eine kurze Einführung in die Weierstrass’sche Theorie nebst Angabe des Zusammenhanges zwischen den Jacobi’schen und den Weierstrass’schen Functionen, so dass der Leser des kleinen Buches in den Stand gesetzt wird, sich auch in der neueren Litteratur über elliptische Functionen zurecht zu finden.

Zum Schluss sei darauf hingewiesen, dass Stahl in der Zeitschrift für Mathematik 45, 216-228, 1900, weitere Mitteilungen über Riemann’s Vorlesungen gemacht und einige Druckfehler in seinem hier besprochenen Werke verbessert hat.