zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
Extension of two theorems on covariants. (English) JFM 34.0120.03

(Siehe auch JFM 34.0120.01 u.JFM 34.0120.02). Die symbolische Clebsch-Aronholdsche Methode wird angewandt zur direkten Aufstellung eines Systems von Perpetuanten, d. i. eines irreduziblen Systems von Kovarianten einer unbegrenzte Anzahl binärer Formen unbegrenzter Ordnung. Sind also a x n ,b x n ,c x n , die vorgelegten Formen, wo n beliebig hoch sein kann, so handelt es sich um ein Formensystem vom Typus (ab) λ (bc) μ (cd) ν a x p b x q , durch die alle anderen ausdrückbar sind. Da die Klammerfaktoren allein schon die Kovariante bestimmen, so kann man sich auf sie beschränken und überdies die Normalform (ab) λ (ac) μ (ad) ν voraussetzen. Für den Grad 3 ergibt sich das gewünschte System, indem man die reduzibeln Typen wegläßt, unmittelbar durch (ab) λ (ac) μ (μ1,λ2).

Für den Grad 4 werden einige von Jordan herrührende Hülfssätze herangezogen, und das fragliche System wird

(ab) λ (ac) μ (ad) ν (ν1,μ2,λ4)·

Ein vollkommen analoges Resultat gilt für einen beliebigen Grad n; das System wird angegeben durch

(ab) λ (ac) μ (ad) ν (λ2 n-2 ,μ2 n-3 ,ν2 n-4 ,)

oder auch durch (ab) λ (bc) μ (cd) ν . Bisher war angenommen, daß sich alle Buchstaben a,b,c, auf verschiedene Formen beziehen. Diese Beschränkung wird in der zweiten Abhandlung aufgehoben, und der Verf. gelangt so zu den von MacMahon und Stroh herrührenden erzeugenden Funktionen für Perpetuanten. Beziehen sich z. B. die Symbole a 1 ,a 2 ,a 3 , alle auf die nämliche Form a x n , so ist die allgemeine Gestalt der Perpetuante

(a 1 a 2 ) a 1 (a 2 a 3 ) a 2 (a 3 a 4 ) a 3 (a r a r+1 a r ;

wo

α 1 α 2 ,α 2 a 3 +2 r-3 ,α 3 α 4 +2 r-4 ,,α r-2 α r-1 +2,α r-1 α r +1·

Man darf also setzen:

α r =1+ξ r ,α r-1 =2+ξ r +ξ r-1 ,α r-2 =4+ξ r +ξ r-1 +ξ r-2 ,;
α 2 =2 r-2 +ξ r ++ξ 2 ,2α 1 =2 r-1 +2(ξ r ++ξ 1 ),

wo die ξ positiv ganzzahlig inklusive 0 sind. Somit wird das Gewicht

w=2α 1 +α 2 ++α r =(2 r -1)+2ξ 1 +3ξ 2 ++(r+1)ξ r ,

und die Anzahl der Perpetuanten vom Gewicht w und Grade i wird der Koeffizient von z w in der erzeugenden Funktion

z 2 i-1 -1 (1-z 2 )(1-z 3 )(1-z n )·

Dieses Verfahren läßt sich auf mehrere Urformen ausdehnen.

In der dritten Arbeit wird gezeigt wie zwei bekannte Satze über binäre Formen: 1. die Funktionaldeterminante aus der Funktionaldeterminante zweier binären Formen und einer dritten Form ist reduzibel; 2. das Produkt aus zwei Funktionaldeterminanten kann als Aggregat von Produktion je dreier Faktoren dargestellt werden eine erhebliche Verallgemeinerung gestatten, wenn man sie als Sätze über Perpetuanten auffaßt.

So ist z. B., wenn i Reihen von Symbolen vorliegen und die Anzahl von Klammerfaktoren, die zwei auf verschiedene Reihen bezügliche Symbole enthalten, stets kleiner als 2 i-1 -1 ausfällt, das Produkt reduzibel.

Andererseits sei P ein irreduzibles Produkt, das i Buchstaben und w Faktoren enthalte, so daß w2 i-1 -1, dann läßt sich für w<2 i -1 das Produkt P(αβ) darstellen als ein Aggregat von Produkten, die entweder die Form α oder aber die Form β und überdies zwei andere Faktoren enthalten.