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Zur Theorie der Gaußschen Summen. (German) JFM 34.0228.01

Cauchy hat die Gleichung bewiesen:

(1)ri s ν=0 s-1 e -ν 2 rπi s = ν=0 r-1 e ν 2 sπi r (r,sgerade),

welche Kronecker als das Reziprozitätsgesetz der Gaußschen Summen bezeichnete. Verf. beweist (1) und einige unwesentlich allgemeinere Relationen zunächst mit Hülfe einer durch zwei Funktionalgleichungen definierten ganzen transzendenten Funktion, dann auf direkterem Wege mit Hülfe der Cauchyschen Formel

(2) n=- e -π a(u+n) 2 =a n=- e -an 2 π+2nuπi ·

Verf. kritisiert ferner zwei Beweisversuche, welche Kronecker (vergl. F. d. M. 12, 123, 1880, JFM 12.0123.01; s. auch Bachmann, Lehrbuch der analytischen Zahlentheorie, 179-183,1894), ausgehend von der Gaußschen Summenformel mit, bezw. ohne Kenntnis der Vorzeichenbestimmung, für den Spezialfall u=0 der Formel (2) angegeben hat; Verf. macht auf einen Fehlschluß aufmerksam und erklärt Kroneckers Entwicklungen für vollständig verfehlte Beweisversuche.

References:
[1]Kronecker entwickelte die erste Reziprozitätsgleichung, welche auf die Relation (7) zurückkommt, nach Andeutungen Cauchys (l. c.), in seiner Abhandlung ?Ueber den vierten Gaußschen Beweis des Reziprozitätsgesetzes für die quadratischen Reste? (Monatsberichte der Berliner Akademie, 1880), hat dann für dieselbe eine aus Dirichletschen Prinzipien geschöpfte Ableitung gegeben (Festschrift d. math. Gesellschaft in Hamburg, 1900; Vorlesungen über die Theorie der Integrale, herausg. von E. Netto, 1894). Daß die von Cauchy benutzten, zum Teil von Laplace stammenden und von Kronecker ebenfalls angewendeten Grenzübergänge nicht vollkommen streng sind, habe ich vor mehreren Jahren erkannt, und habe namentlich 1887 in einem Aufsatze (Jornal de sc. math. e astron.; Porto; vol. VIII) die nötigen Ergängzungen ausgeführt. Der eigentliche Zweck jenes Aufsatzes war allerdings kein algebraischer, sondern es handelte sich um einen neuen Beweis der Tatsache, daß die elliptische Transcendente ?3(0|?) über die reelle Achse hinaus in die negative Halbebene ? nicht fortgesetzt werden kann.
[2]Seite 696 u. ff.
[3]Seite 854 daselbst.
[4]Eine Wiedergabe der falschen Ausführungen Kroneckers findet sich in Herrn BachmannsAnalytischer Zahlentheorie (Leipzig, 1894), S. 179-183.
[5]l. c. Eine Wiedergabe der falschen Ausführungen Kroneckers findet sich in Herrn BachmannsAnalytischer Zahlentheorie (Leipzig, 1894), S. 860.
[6]Die Grundlagen der Theorie der Funktion ?(u, ?) habe ich in zwei Abhandlungen entwickelt, welche unter den Schriften der Prager Akademie (1892, Nr. 24 und 1893, Nr. 23) erschienen sind. Außerdem habe ich ? in etwas abgeänderter Form ? darüber in der 66. Naturforscherversammlung in Wien einen Vortrag gehalten.