zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis. (English) JFM 34.0520.01

Für die Differentialgleichung der Funktionen des parabolischen Zylinders wird folgende Normalform zugrunde gelegt:

(1)d 2 y dz 2 +(n+1 2-1 4z 2 )y=0·

Es wird gezeigt, daß man dieser Gleichung außer durch Reihen nach steigenden Potenzen von z durch das bestimmte Integral

(2)D n (z)=C·e -1 4z 2 z n γ e -t-1 2(t 2 /z 2 ) t n-1 dt

genügen kann, falls der Integrationsweg γ so gewählt wird, daß die Größe

{t 2 -tz 2 -(n-1)/z 2 }f -n e -t-1 2(t 2 /z 2 )

am Anfang und am Ende desselben den gleichen Wert hat. Durch Reihenentwicklung von e -1 2(t 2 /z 2 ) und passende Wahl des Integrationsweges ergibt sich dann für sehr große reelle Werte von z die asymptotische Darstellung

D n (z)=C2π(-1) n+1 i𝛤(n+1)e -1 2z 2 z n 1-n(n-1) 2z 2 ++(-1) r n(n-1)(n-r) 2 r ·r!1 z 2r +·

Zur Vereinfachung wird nunmehr der in (2) enthaltenen willkürlichen Konstante C der Wert

C=i𝛤(n+1)(-1) n+1 2π

gegeben, während für solche n, deren reeller Teil negativ ist,

C=1 𝛤(-n)

gesetzt wird. Das allgemeine Integral von (1) läßt sich dann so darstellen:

y=aD n (z)+bD -n-1 (z),

und für die Funktion D n (z) gelten die beiden Rekursionsformeln

D n (z)-zD n-1 (z)+(n-1)D n-2 (z)=0,
dD n (z) dz+1 2zD n (z)-nD n-1 (z)=0·

Falls n eine positive ganze Zahl ist, reduziert sich D n (z) auf

(-1) n e 1 4z 2 d n dz n (e -1 2z 2 )·

Ferner gelten für die Funktion D n (z), falls n und m ganze Zahlen sind, die Integralsätze:

- + D m (z)D n (Z)dz=0,fallsmn,
- + (D n (z)) 2 dz=(2π) 1 2 n!,

und mit Hilfe derselben kann man eine beliebige Funktion f(z) nach den D n entwickeln.

Zum Schluß wird gezeigt, daß man der Gleichung (1) noch durch andere Integrale als (2) genügen kann. Speziell wird für solche, deren reeller Teil negativ ist,

D n (z)=1 πsinnπ 2𝛤n 2+1e -1 4z 2 z n 0 e -s s -1 2n-1 1+2s z 2 1 2(n-1) ds,

und für solche n, deren reeller Teil kleiner als 1 ist:

D n (z)=1 𝛤1-n 2e -1 4z 2 z n 0 e -s s -1 2n-1 2 1+2s z 2 1 2n ds·