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Sur la continuité des fonctions de variables complexes. (French) JFM 36.0454.04

Die Arbeit bildet eine ausführliche Darstellung von Untersuchungen, über die der Verfasser bereits in zwei Noten (C. R. 134, 1195-1197; F. d. M. 33, 396, 1902, JFM 33.0396.02; C. R. 139, 914-915; F. d. M. 35, 394, 1904, JFM 35.0394.03) kurze Mitteilungen gemacht hatte. Die Abhandlung besteht aus zwei Teilen. Imersten Teile beschäftigt sich Pompéiu mit dem Briot-Bouquetschen Problem: Es sei f(u) eine Funktion der komplexen Variable u, die in einem gewissen Gebiete R der komplexen Ebene definiert ist. Die Punkte von R zerfallen 1) in solche Punkte u=z, für die f(u) eine Ableitung besitzt, und 2) in solche Punkte ζ, von denen man nur weiß, daß f(u) dort stetig ist. Frage: Welches ist die allgemeinste Verteilung der Punkte ζ im Innern von R, so daß die Funktion f(u) in jedem Punkte ζ eine Ableitung besitzt? Die Untersuchung dieses ersten Teiles wird in fünf Kapiteln durchgeführt. Im ersten Kapitel werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür entwickelt, daß eine Funktion einer komplexen Variable holomorph ist. Im zweiten Kapitel wird gezeigt, daß eine abzählbare Punktmenge eine Lösung des Briot-Bouquetschen Problems liefert. Im dritten Kapitel wird nach Einführung eines neuen Begriffes der Mengenlehre angegeben, welches die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, daß irgend eine abgeschlossene Punktmenge eine Lösung des Briot-Bouquetschen Problems bildet. Das vierte Kapitel behandelt Erweiterungen der gefundenen Resultate, und im fünften werden einige Sätze über Mengen des Inhalts Null geboten.

Der zweite Teil der Arbeit handelt von den Singularitäten der eindeutigen analytischen Funktionen. Verfasser zeigt, daß die “Ausdehnung” der Menge der singulären Punkte eine wesentliche Rolle bei der Art des Verhaltens der Funktion in der Umgebung der singulären Stellen spielt. Auch deutet er an, daß diese “Ausdehnung” der Menge aller singulären Stellen als Kriterium für eine Klassifikation der eindeutigen analytischen Funktionen dienen kann.

Damit ist die vorliegende Arbeit in ihren allgemeinen Zielen und Resultaten gekennzeichnet. Auf die zum Teil neuen Einzelresultate einzugehen, ist im Rahmen dieses Referats kaum möglich; es sei der Leser auf die Abhandlung selbst verwiesen.