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Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. (French) JFM 36.0468.01
Paris: Gauthier-Villars. vi, 141 S. 8 (1905).

Die Fortschritte, die man während der letzten Jahre in der Funktionentheorie gemacht hat, haben immer mehr zu der Erkenntnis geführt, wie fruchtbar und wirksam die Methoden sind, die wir dem Genie Cauchys verdanken; man erinnere sich etwa an die Verwendung, die das Cauchysche Integral bei den Untersuchungen Mittag-Lefflers gefunden hat. Es war daher ein glücklicher Gedanke des Verf., in systematischer Weise die Bedeutung der Residuenrechnung für die Funktionentheorie darzulegen. Daß ihm die Durchführung seines Planes so gut gelungen ist, beruht wohl auf zwei Umständen. Erstens hat Lindelöf an der Weiterentwicklung der Funktionentheorie durch bemerkenswerte selbständige Forschungen Anteil genommen, und zweitens kennt er, wie wenige, die überaus zahlreichen Noten und Nötchen, in denen Cauchy seine Konzeptionen zur Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen niedergelegt hat; als trefflicher Kenner Cauchys hat er eine Reihe wichtiger historischer Tatsachen feststellen können und dadurch auch in einigen Punkten die Arbeiten des Referenten zur Geschichte der Funktionentheorie ergänzt und berichtigt (vgl. besonders S. 7, 9-10, 12, 17, 21, 27, 43, 68-69, 73, 90).

Das erste Kapitel enthält in gedrängter Darstellung die allgemeine Theorie der Residuenrechnung; dabei werden auch einige bis jetzt fast unbekannte Abhandlungen Mittag-Lefflers berücksichtigt, die in schwedischer Sprache erschienen waren. In dem zweiten Kapitel werden verschiedene Anwendungen vorgeführt, die fast alle von Cauchy selbst herrühren. Das dritte Kapitel ist dem Studium von Summationsformeln gewidmet; hier zeigt sich, daß man mittels der Residuenrechnung eine große Anzahl scheinbar ganz disparater Formeln auf ein einfaches und naturgemäßes Prinzip zurückführen kann. Als Anwendung dieser Formeln werden in dem vierten Kapitel verschiedene Relationen aus der Lehre von der Gammafunktion und der Riemannschen Zetafunktion hergeleitet; auch finden sich darin einige neue Ergebnisse in bezug auf die Stirlingsche Reihe. Das fünfte und letzte Kapitel bezieht sich auf die modernen Untersuchungen über analytische Fortsetzung und asymptotische Darstellung von Funktionen, die durch eine Taylorsche Reihe definiert sind.


MSC:
30-02Research monographs (functions of one complex variable)