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A generalisation of the Legendre polynomial. (English) JFM 36.0512.01

Die hier behandelten Erweiterungen der Legendreschen Polynome ergeben sich in derselben Weise aus der Laplaceschen Gleichung für vier Variabeln wie die zugeordneten Kugelfunktionen aus der entsprechenden Gleichung für drei Variabeln. Es sind die ganzen Funktionen n-ter Ordnung von x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 , die der Gleichung

(1) 2 V x 1 2 + 2 V x 2 2 + 2 V x 3 2 + 2 V x 4 2 =0

genügen. Setzt man

x 1 =rcosϑcosϕ,x 2 =rcosϑsinϕ,x 3 =rsinϑcosχ,x 4 =rsinϑsinχ,

so wird der Gleichung (1) genügt durch

V=r n e imϕ+ikχ θ n m,k ,

wo θ n m,k , falls man noch cos(2ϑ)=μ setzt, der Gleichung (2):

d dμ(1-μ 2 )dθ dμ+θn 2n 2+1-m 2 2(1+μ)-k 2 2(1-μ)=0

genügt. Für m=k geht θ direkt in die zugeordnete Kugelfunktion mit dem Index n 2 über, während es sich im allgemeinen leicht als hypergeometrische Reihe, multipliziert mit (1+μ) 1 2m (1-μ) 1 2k , darstellen läßt.

Es werden verschiedene Eigenschaften der Funktionen θ abgeleitet, unter anderem ihre Beziehungen zu den zugeordneten Kugelfunktionen, Rekursionsformeln der θ, Integralsätze, die denen der Kugelfunktionen analog sind, etc.

Erwähnt werden mag endlich noch, daß sich das Produkt

J m (rcosϑ)J k (irsinϑ)

in eine Reihe der Form

s=0 A n r n θ n m,k (cos2ϑ)[n=m+k+2s]

entwickeln läßt und

J m (rcosϑsinα)J k (rsinϑcosα)

in eine Reihe der Form

s=0 B n J n+1 (r) rθ n m,k (cos2ϑ)θ n m,k (cos2α),

worin wieder n=m+k+2s ist.