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Séries trigonométriques et séries de Taylor. (French) JFM 37.0283.01

Unter Benutzung des Lebesgueschen Integralbegriffs und verwandter neuerer Methoden untersucht Fatou im ersten Teile seiner Arbeit das Poissonschen Integral

F(r,θ)=1 2π -π +π 1-r 2 1-2rcos(θ-u)+r 2 f(u)du;

es definiert eine im Innern des Einheitskreises reguläre harmonische Funktion und nimmt auf seinem Umfange im Punkte u 0 den Wert f(u 0 ) an, wenn die periodische Funktion f(u) stetig ist; aber auch unter der alleinigen Voraussetzung, daß f(u) seinem absoluten Werte nach eine (im Lebesgueschen Sinne) summierbare Funktion ist, behält das Integral einen Sinn und definiert eine harmonische Funktion.

Ist eine Funktion f ' (u), die gleich der Ableitung einer stetigen Funktion f(u) von der Periode 2π ist, gegeben, so ist es möglich, eine im Innern eines Kreises reguläre harmonische Funktion zu bestimmen, die den folgenden Bedingungen genügt: 1. In jedem Punkte u 0 des Umfangs, für den f ' (u 0 ) einen bestimmten endlichen oder unendlichen Wert hat, nimmt die harmonische Funktion den Wert f ' (u 0 ) an, wenn man sich diesem Punkte längs des Radius nähert. 2. In jedem Punkte u 0 , in dem f ' (u) endlich und stetig ist, nimmt die harmonische Funktion den Wert f ' (u 0 ) an, auf welchem Wege man sich auch u 0 nähern mag.

Dafür, daß

𝛷(r,θ)=-1 2π -π +π 2rsin(u-θ) 1+r 2 -2rcos(u-θ)f(u)du

eine Grenze für r=1 habe, ist die notwendige und hinreichende Bedingung die Existenz einer Grenze für das Integral

ε +π [f(θ+t)-f(θ-t)]cotangt 2dt,

wenn ε durch positive Werte gegen Null konvergiert. Das gleichmäßige Konvergieren dieses Integrals gegen seine Grenze ist die notwendige und hinreichende Bedingung für das gleichmäßige Konvergieren von 𝛷(r,θ) gegen seine Grenze.

(𝛷(r,θ) ist der imaginäre Bestandteil der Taylorschen Reihe, deren reeller Bestandteil F(r,θ) ist.)

Wenn der reelle Bestandteil einer Taylorschen Reihe auf dem Konvergenzkreise stetig ist und einer Lipschitzschen Bedingung |f(u+δ)-f(u)|<k|δ| a genügt, wo k und a positive Konstanten sind, so ist auch der imaginäre Bestandteil stetig und genügt einer Bedingung derselben Form.

Das Poissonsche Integral für eine endliche summierbare Funktion stellt eine harmonische Funktion dar, die in allen Punkten des Umfanges (möglicherweise mit Ausnahme einer Punktmenge von der Mächtigkeit Null) einen wohl bestimmten Wert annimmt, wenn man sich einem dieser Punkte auf einem den Umfang nicht berührenden Wege nähert.

Im zweiten Teile werden die Ergebnisse auf trigonometrische Reihen angewandt; das Poissonsche Integral wird für den Fall untersucht, daß f(u) nicht eine endliche, sondern dem absoluten Betrage nach intergierbare Funktion ist.

Eine Taylorsche Reihe mit ganzen Koeffizienten kann nur dann eine algebraische Funktion darstellen, wenn ihr Konvergenzradius kleiner als Eins ist, wofern sie nicht gleich einem rationalen Bruche ist, dessen Pole sämtlich Wurzeln der Einheit sind. –

Wenn na n , nb n mit 1/n gegen Null konvergieren, so hat die Menge der Divergenzpunkte der Reihe (a n cosnθ+b n sinnθ) für n=1,, die Mächtigkeit Null.

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß diese Reihe, wo na n und nb n mit 1/n gegen Null konvergieren, für einen bestimmten Wert von θ konvergent sei, besteht darin, daß die durch gliedweises Integrieren der Reihe erhaltene Funktion g(θ) eine Ableitung g ' (θ) hat, die dann gleich der Summe der gegebenen Reihe ist.

Wenn eine Taylorsche Reihe (oder ihr reeller Bestandteil) in allen Punkten eines Bogens S des Konvergenzkreises konvergent ist, so gibt es in jedem Intervalle von S Punkte, in denen die Reihe einen wohl bestimmten Wert annimmt, längs aller dahin führenden Wege.

Wenn eine Taylorsche Reihe c 0 +c 1 z+c 2 z 2 + einen der Einheit gleichen Konvergenzradius hat, und wenn c n mit 1/n gegen Null konvergiert, so ist sie in jedem regulären Punkte ihres Konvergenzkreises konvergent.

Es gibt eindeutige analytische Funktionen, die als einzige Singularität eine geschlossene Grenzlinie (z. B. einen Kreis) haben und auf der Grenzlinie eine unendliche, nicht abzählbare Menge von Nullstellen.

Wenn die Reihe (a n +ib n )e inφ konvergent ist und in einem beliebig kleinen Intervall Null zur Summe hat, so sind alle a n und b n Null.

Wenn die Reihe (a n cosnx+b n sinnx) in allen Punkten eines Intervalls absolut konvergent ist, so sind a n und b n absolut konvergent.


References:
[1]E. Borel,Leçons sur la théorie des fonctions (Paris, Gauthier-Villars, 1898).
[2]Lebesgue.Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (Paris, Gauthier-Villars, 1904).
[3]L. Féjer (Sur les fonctions bornées et intégrables, Comptes Rendus, 10 décembre 1900) et Mathematische Annalen (tome 57, 1904).
[4]V. p. ex.:Picard,Traité d’analyse, tome I.
[5]Voir par exemple:Borel,Leçons sur les séries à termes positifs, (Paris, Gauthier-Villars, 1902).
[6]Si l’on choisit, par exemple, des axes tels que les deux asymptotes soient les droites:x=±1, l’origine étant le point le plus bas de la courbe, en posant: y=εx 2 +I-x 2 on a une courbe telle que l’aire comprise entre elle, ses deux asymptotes et l’axe desx est égale à π 2ε et peut être rendue aussi petite que l’on veut en choisissant covenablement ϵ.
[7]La dérivation sous le signe pourr<1 se justifie très aisément.
[8]On peut évidemment supposer quef(u) présente des infinis ou des discontinuités isolées pourvu qu’elle soit absolument intégrable.
[9]Nous appelonsH 1 ce que devientH quand on y remplaceu par (u):H 1 est donc fonction der, θ,u.
[10]Leçons sur l’intégration et les fonctions primitives (Paris, Gauthier-Villars 1904), page 114.
[11]Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Functionen (Mathematische Annalen, tome 57, 1903). – Voir aussiStekloff (Comptes Rendus, 10 nov. 1902). –Parseval, sav. étr. (tome I, 1806).
[12]Il peut être utile de remarquer que si la sérieΣa n 2 +b n 2 est convergente, les séries a n n a ,b n n a sont absolument convergentes pour a>I 2 .
[13]On peut l’exprimer de cette façon: sif(u) est la dérivée seconde généralisée d’une fonction périodique et continue:g(u), on a: f(u)=lim r=1 -A 1 r-4A 2 r 2 -···-n 2 A n r n -··· A o+A 1+A 2+... étant la série deFourier deg(u).
[14]Annales de l’École normale, t. 20, p. 491.M. Lebesgue remarque que (u) étant bornée, il en est de même du rapport f(u+a)+f(u-a)-2f(u) a 2 à cause d’une extension, qu’il donne, du théorème des accroissements finis à la dérivée seconde généralisée. Partant de la relation φ(u)=limf(u+a)+f(u-a)-2f(u) a 2 il intégre deux fois de suite les deux membres, en intervertissant, comme il est permis, les signes lim et On a ainsi le résultat énoncé dans le texte.
[15]La fonction sous le signe est dans le cas actuel absolument intégrable; il est donc inutile de parler ici de valeur principale.
[16]La série est alors uniformément convergente sur son cercle de convergence, comme il résulte de l’étude des séries deFourier.
[17]Voir au sujet de ces formules:Harnack,Fundamentalsätze der Functionentheorie Math. Annalen, tome 21.
[18]Comptes Rendus, février 1905.
[19]Comptes Rendus, février 1904.
[20]Relativement aux séries entières à coefficients entiers, je rappelle queM. Borel a obtenu un résultat très intéressant (v. p. exemple, ses leçons sur les fonctions méromorphes, Paris, Gauthier-Villars, 1903).
[21]E. Borel,Sur quelques points de la théorie des fonctions, première partie (Annales de l’Ecole normale, 1895) etLeçons sur la théorie des fonctions.
[22]On pourra lire à ce sujet une lettre d’Hermite àStieltjes (17 décembre 1886). – (Correspondance d’Hermite et deStieltjes, Paris, Gauthier-Villars 1905, page 196.)
[23]Nous n’avons pas placé cette étude dans la première partie, parce que nous avons dû nous servir du théoréme établi dans le § 1 de la seconde partie.
[24]Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives, page 114.
[25]Pour abréger, nous dirons souvent: “en général”, au lieu de “sauf exception pour un ensemble de mesure nulle de points ou de valeurs de la variable”.
[26]Il résulte de ce raisonnement que si une fonction harmonique est régulière et bornée à l’intérieur d’un cercle, elle pourra être mise sous la forme d’une intégrale dePoisson.
[27]Indiquons encore brièvement une déduction facile de la méthode employée dans le texte:toute fonction harmonique régulière et limitée inférieurement dans C est la somme d’une intégrale de Poisson et d’une fonction harmonique qui reste positive dans C et qui prend la valeur zéro sur C, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle.
[28]Voici une conséquence de la formule deParseval: soienta n ,b n les constantes deFourier def (u); si la série Σn(a n 2 +b n 2 ) est convergente,f(u) est développable en série deFourier sauf peut-être pour un ensemble de mesure nulle de valeurs deu; pratiquement cette proposition ne paraît pas bien utile.
[29]Leçons sur l’intégration et les fonctions primitives (page 128).
[30]Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Konvergenzkreise (Münchner Berichte, 38).
[31]Nous avons pour plus de commodité donné àx une suite dénombrable de valeurs de la forme I-I ν ; il est facile de voir que cette restriction est insignifiante.
[32]Voir aussi l’article déjà cité deM. A. Hurwitz
[33]Il résulte en effet des recherches deM. Fejer, que la fonction dérivée d’une fonction continuef(u) dans l’ensemble des points où elle existe, est représentable par la série dérivée de la série deFourier def(u), sommée par une double application de la moyenne arithmétique.
[34]Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (§ 8, théorèmes I et 2).
[35]Lebesgue,Mémoire sur les séries trigonométriques, page 471, ou ce mémoire page 351.
[36]An sujet de la convergence uniforme des séries deFourier, on trouvera des propositions intéressantes dans le livre récemment paru deM. Lebesgue,Leçons sur les séries trigonométriques, (Paris, Gauthier-Villars, 1906).
[37]Nous reproduisons ici l’énoncé deRiemann; parmi les conditions énoncées par lui relativement à la fonction (t), il y en a qui sont superflues.
[38]Essai sur les fonctions données par leur développement de Taylor (Journal de mathématiques pures et appliques, 4e série, tome 8, p. 163).
[39]On trouvera d’intéressantes remarques au sujet de cette question dans la thèse de Mr Zoretti:Sur les fonctions analytiques uniformes etc., (Journal de mathématiques, 1900).