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Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen. (German) JFM 37.0443.01
Münch. Ber. 36, 223-242 (1906).

Über die Mannigfaltigkeit der singulären Stellen einer analytischen Funktion mehrerer Veränderlichen wußte man bis vor kurzem kaum mehr, als daß es keine isolierten singulären Stellen gibt; vgl. J. Hadamard, La série de Taylor, Paris 1901, Chap. IX, § 5. Erst durch Fr. Hartogs (Dissertation, München 1903; ”F. d. M. 36, 483-486, 1905, sieheJFM 36.0483.01, JFM 36.0483.02 u. JFM 36.0483.03”) und H. Hahn (Monatshefte 16, 29-44; F. d. M. 36, 482, 1905, JFM 36.0482.02) sind in dieser Beziehung Fortschritte erzielt worden. Während Hartogs in seiner Dissertation von der Darstellung durch Potenzreihen ausgegangen war, nimmt er in der vorliegenden Abhandlung das Problem mittels des Cauchyschen Integrals in Angriff, dessen Kraft sich immer bewährt, und gelangt so nicht nur zu den Sätzen, die er früher gefunden hatte, sondern findet noch allgemeinere Ergebnisse. Wie Hartogs in dem Schlußabschnitt ausführt, lassen sich die von ihm für Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen hergeleiteten Theoreme sofort auf Funktionen von n komplexen Veränderlichen übertragen; um so mehr braucht in diesem Berichte nur von Funktionen zweier Veränderlichen x und y die Rede zu sein.

Unter einem “Bereich B” der x-Ebene versteht Hartogs eine abgeschlossene Punktmenge von der Beschaffenheit, daß erstens jeder Punkt x der Menge entweder selbst ein innerer Punkt ist oder doch als Häufungsstelle von inneren Punkten erscheint, und zweitens je zwei innere Punkte von B stets durch eine Linie verbunden werden können, die ganz aus inneren Punkten von B besteht und aus einer endlichen Anzahl geradliniger Stücke zusammengesetzt ist. Die Gesamtheit der Begrenzungspunkte von B bildet die Begrenzung oder die Randkurve C des Bereiches B; sie ist ebenfalls eine abgeschlossene Punktmenge. In entsprechender Weise mögen für die y-Ebene die Bereiche B ' und die Randkurven C ' erklärt werden.

Bei diesen Festsetzungen erhält man für die analytische Funktion F(x,y), die in dem Bereiche (B,B ' ) eindeutig und regulär ist, die Cauchysche Darstellung:

F(x,y)=1 2πi 2 C C ' F(ξ,η) (ξ-x)(η-y)dξdη·

Um die Gültigkeit dieser Formel nachzuweisen, ist es jedoch, wie die genauere Untersuchung zeigt, gar nicht erforderlich, zu wissen, daß F(x,y) in dem vollen Gebiet (B,B ' ) regulär ist; es genügt vielmehr schon, daß festeht, F(x,y) verhalte sich in einem gewissen Teilgebiet regulär. Da aber der Ausdruck auf der rechten Seite, wenn nur jeder Punkt ξ,η des Integrationsgebietes jenem Teilgebiete angehört, stets eine im vollen Gebiete (B,B ' ) eindeutige und reguläre analytische Funktion darstellt, so ergibt sich die Möglichkeit, aus dem Umstande, daß F(x,y) in einem gewissen Gebiet regulär ist, zu erschließen, daß es auch in einem weiteren Gebiete regulär sein muß. Aus dieser Überlegung folgt eine Reihe voon Sätzen, von denen hier nur der folgende angeführt werden möge:

Es sei y=g(x) eine im Bereiche B der X-Ebene eindeutige und reguläre analytische Funktion, und zwar von der Beschaffenheit, daß jedem Punkte x von B ein Punkt y=g(x) im Innern des Bereiches B ' in der y-Ebene zugeordnet sei. Ferner möge man wissen, daß der Zweig F(x,y) einer analytischen Funktion von x und y eindeutig und regulär ist in dem ganzen Gebiete, das erstens aus allen Stellen (x,y) besteht, für die x der Begrenzung C von B und gleichzeitig y dem Bereiche B angehört, zweitens aus allen Stellen (x,y), für die x dem Bereiche B angehört und gleichzeitig y=g(x) ist. Endlich möge die Begrenzung C ' von B ' mit jeder Geraden der y-Ebene höchstens zwei Punkte oder eine einzige geradlinige Strecke gemeinsam haben. Alsdann ist F(x,y) im vollen Bereiche (B,B ' ) eindeutig und regulär.