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Über die Wurzeln einiger Zylinderfunktionen und gewisser aus ihnen gebildeter Gleichungen. (German) JFM 37.0480.01

Die Lösung der Besselschen Differentialgleichung für das Innere eines von zwei koaxialen Zylindern begrenzten Raumes mit der Nebenbedingung, daß diese Lösung an den Grenzen verschwindet, führt auf die Gleichung

(1)J n (x) K n (x)=J n (kx) K n (kx),

in der J n (x) die Besselsche Funktion erster, K n (x) die zweiter Art bezeichnet, und zwar

K n (x)=1 sin(nπ){cos(nπ)J n (x)-J -n (x)},

und in der ferner k>1 ist. In der voriegenden Arbeit werden die sechs ersten Wurzeln der Gleichung (1) für die Werte n=0,1 2,1,3 2,2,5 2 und k=6 5,3 2,2 berechnet. Die Rechnung stützt sich auf Reihen, die MacMahon für jene Wurzeln angegeben hat (Annals of Math. 9, 28, 1894/5); sie ergeben sich leicht aus den semikonvergenten Reihen der Zylinderfunktionen. Es werden dann noch die Grenzwerte k=1 und k= erörtert (für k= geht die Gleichung (1) in J n (ξ)=0 über, für k=1 in sinξ=0 oder cosξ=0), und es wird gezeigt, wie für gewisse irrationale Werte von k die Wurzeln von (1) aus denen der einfachen Gleichung J n (x)=0 folgen. Endlich werden einige (nicht erschöpfende) Bemerkungen über die Abhängigkeit der Wurzeln der Gleichung (1) von n und k gemacht.

Eigene analytische Entwicklungen enthält die Arbeit nicht; die angeführten Formeln sind sämtlich bekannt.