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On Vandermonde’s theorem, and some more general expansions. (English) JFM 38.0313.01

Die übliche Form des Vandermondeschen Theorems:

(1)p+q s=p s+p s-1q 1++q s

dividiere man durch p s, setze α für q, s+γ für p; dann geht (1) über in

(2)(α+γ+1)(α+γ+2)(α+γ+s) (γ+1)(γ+2)(γ+s)=1+α·s 1·(γ+1)+α(α-1)·s(s-1) 1·2·(γ+1)(γ+2)+·

Wenn sowohl α, als auch s positive ganze Zahlen sind, ist die linke Seite von (2) symmetrisch in α und s; auf diese Symmetrie und auf die Bedingungen für die Identität zweier rationalen ganzen Funktionen dessenben Grades gründet sich der Beweis für jedes α ganz einfach mittels der mathematischen Induktion. Die Methode wird verallgemeinert; indem s immer eine positive ganze Zahl ist, wird also die Funktion

(α+γ+1)(α+γ+s) (γ+1)(γ+s)×(β+γ+1)(β+γ+s) (α+β+γ+1)(α+β+γ+s)

in der Form entwickelt:

1+A 1 αs α+β+γ+s+A 2 α(α-1)·s(s-1) (α+β+γ+s)(α+β+γ+s-1)+,

wo die Koeffizienten A 1 ,A 2 , unabhängig von s und α sind; in der Tat ist

A n =β(β-1)(β-n+1) 1·2n(γ+1)(γ+2)(γ+n)·

Hiervon werden Anwendungen auf die hypergeometrische Reihe gemacht; auch werden manche anderen Entwickelungen von noch allgemeinerer Form behandelt. Unter den besonderen Fällen befindet sich eine Formel für die Summe der Kuben der Koeffizienten für die Reihenentwickelung von (1-x) -c (Lond. M. S. Proc. 35, 284; F. d. M. 34, 490, 1903, JFM 34.0490.02). Einige Verallgemeinerungen der Ergebnisse werden mit Hülfe des Cauchyschen Residuenkalküls erhalten.