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Über lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen wesentlich singulären Stellen. (German) JFM 38.0362.01
Verf. untersucht die Gestalt einer linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen Punkten und dem unendlich fernen Punkt als wesentlich singulären Stellen, für welche die Koeffizienten der Substitutionen, die ein Fundamentalsystem von Integralen bei Umläufen der unabhängigen Variable um die im Endlichen gelegenen singulären Stellen erleidet, beliebig vorgeschriebene, also insbesondere von der Wahl der singulären Stellen unabhängige Werte besitzen. Es zeigt sich zunächst (Nr. I), daß neben den vier wesentlich singulären Stellen, als welche 0,1,t, genommen werden, mindestens eine scheinbar singuläre Stelle vorhanden sein muß. Dann werden (Nr. II und III) die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die in den Koeffizienten vorhandenen Konstanten aufgestellt, damit die Differentialgleichung die oben angegebenen Eigenschaften besitzt, und gezeigt (Nr. IV), daß diese Bedingungsgleichungen mit einander verträglich sind. Es zeigt sich, daß der Wert λ der scheinbaren singulären Stelle als Funktion von t einer Differentialgleichung von Painlevéschen Typus genügt, die durch Transformation mittels eines elliptischen Integrals in eine nicht homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung übergeführt werden kann, deren linke Seite mit derjenigen der Legendereschen Gleichung übereinstimmt (Nr. V, VI). Hierauf wird (VII) der Zusammenhang der vorliegenden Untersuchungen mit dem Riemannschen Problem klargestellt und dann (VIII) ein Spezialfall hervorgehoben, der zu der vorgelegten Differentialgleichung in ähnlicher Beziehung steht wie die Legendresche zur allgemein Gaußschen Differentialgleichung. Schließlich wird gezeigt (IX), daß in besonderen Fällen die Differentialgleichung reduktibel sein und bei gewissen Spezialisierungen der Konstanten (X) in Gaußsche Differentialgleichungen übergeführt werden kann. - Ein Auszug aus der vorliegenden Arbeit ist in den C. R. 141, 555 erschienen (vgl. F. d. M. 36, 397, 1905, JFM 36.0397.02).
References:
[1]L. Fuchs, Sitz.-Ber. der Berl. Ak. 1888, S. 1278-1282, Nr. 11 u. 12. Vgl. auch meine Programmarbeit (Bismarckgymnasium, Wilmersdorf-Berlin 1902).
[2]Acta Math. Bd. IV, S. 217-219.
[3]Crelles Journal, Bd. 123, S. 168 und Handbuch der Theorie der lin. Differentialgl., Bd. II1, S. 383 und 388.
[4]Vgl. L. Fuchs, S.-B. d Berl. Ak. 1892, Nr. 3, S. 162, Satz I.
[5]L. Fuchs, S.-B. d Berl. Ak. 1894, Nr. 7, S. 1124, Gl. (5).
[6]Die Differentialgleichung (L?) besitzt, worauf ich bei anderer Gelegenheit eingehen möchte, die festen Verzweigungspunkte 0, 1,t, ?. In der Tat findet sie sich in dem speziellen Fallk 0 =k 1 =k t =k ?=0 in den von Herrn Painlevé für Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit festen Verzweigungspunkten aufgestellten Tableaux (Acta Math. Bd. 25 z. B. Tabl. III). Darauf, daß diese Tableaux noch nach einigen Richtungen hin zu ergänzen sind, hat schon Herr Gambier (C. R. de l’Ac. des Sc. de Paris 1906, t. 142, p. 268) hingewiesen; siehe auch seine weiteren Veröffentlichungen C. R. 1906, t. 142, p. 1403 u. 1497, t. 143, p. 741.
[7]L. Schlesing: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen im Auschluß an das Riemannsche Problem, I, Crelles Journal Bd. 123, S. 138ff.; II, Bd. 124, S. 292ff.; Bd. 130, S. 26ff.
[8]a. a. O. L. Schlesinger: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen im Anschluß an das Riemannsche Problem, I, Crelles Journal Bd. 123, S. 147.
[9]Legendre, Traité des fonctions elliptiques, Bd. I (1825), S. 62 ff.