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Über die Uniformisierung reeller algebraischer Kurven. (German) JFM 38.0453.01

Es wird folgender Satz aufgestellt: (x,y) sei irgendeine irreduzible reelle algebraische Kurve mit reellen Zügen, F die zur Funktion y(x) gehörende Riemannsche Fläche; dann gibt es eine als Funktion des Ortes auf der Fläche F überall mit dem Charakter einer rationalen Funktion von x und y erklärbare Größe t=t(x,y), welche auf den reellen Zügen der Kurve (x,y) nur reelle Werte annimmt und so beschaffen ist, daß die Funktionen x(t) und y(t) beide eindeutige Funktionen von t sind.

Die durch die vorstehenden Bedingungen charakterisierte Größte t ist durch diese Bedingungen, abgesehen von einer reellen linearen Substitution, bereits vollständig bestimmt und genügt einer Differentialgleichung dritter Ordnung D(t) x =R(x,y), wobei mit R(x,y) eine reelle rationale Funktion der Größen x und y, mit D(t) x der Schwarzsche Differentialausdruck dritter Ordnung D(t) x =2dt dxd 3 t dx 3 -3d 2 t dx 2 2 2dt dx 2 bezeichnet ist. Der Existenzbereich der linearautomorphen Funktionen x(t) und y(t), d. i. das Wertgebiet der Größe t, wird von der ganzen Ebene gebildet, exkl. im allgemeinen (p>1) unendlich viele in nicht abzählbarer menge vorhandene Punkte auf der Achse des Reellen.

Der Existenzbeweis für die Größe t wird in der Weise geführt, daß zunächst die Riemannsche Fläche der Funktion t(x,y) relativ über der Riemannschen Fläche F konstruiert wird. Diese Riemannsche Fläche zerfällt in zwei zueinander symmetrische einfach zusammenhängende Hälften. Die Funktion t(x,y) selbst wird dann als Abbildungsfunktion gefunden, indem die Existenz der konformen Abbildung einer der genannten beiden Hälften auf die Fläche einer einblättrigen Halbebene nach Poincaré-Harnackschen Prinzipien bewiesen wird.

Weitergehende Sätze betreffen die Existenz analog beschaffener uniformisierender Größen t, welche relativ zur Fläche F verzweigt sind.