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Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont l’intégrale générale est à points critiques fixes. (French) JFM 40.0377.02
Painlevé (S. M. F. Bull. 28, 201-261; F. d. M. 31, 337-338, 1900, JFM 31.0337.03) hat eine Methode angegeben, um alle (algebraischen) Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu bestimmen, deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen, und er hat diese Methode ausführlich in dem Falle entwickelt, daß die Differentialgleichung von der Form (1) y '' =R(y ' ,y,x) ist, wo R rational in y ' , algebraisch in y und analytisch in x ist. Eine weitere Abhandlung von Painlevé (Acta Math. 25, 1-85; F. d. M. 32, 340, 1901, JFM 32.0340.01) enthält die Tabelle aller Differentialgleichungen von der Form (1), deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen. Diese Tabelle enthält aber eine Lücke, indem Painlevé bei der Diskussion der zahlreichen Fälle, zu deren Unterscheidung seine Methode führt, einen Fall übersehen hat, der gerade zahlreichen und wichtigen Typen von Differentialgleichungen (1) mit festen Verzweigungspunkten entspricht. Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist es, diese Lücke auszufüllen.

References:
[1]Je rappelle que le cas oùf est rationnel eny a seul besoin d’ètre complété. C’est le seul dont je m’occupe dans tout ce mémoire.
[2]Ces 2 tableaux pourA=0 etA=I/y étaient complets chezM. Painlevé; je les reproduis ici pour la clarté de ce qui suit. Des modifications que j’ai apportées à ces 2 tableaux m’ont été suggérées aussi pour la simplification des équations que j’ajoute dans les autres tableaux.
[3]SiV 2 ouV 3 tendent versV 1, on siV 2 etV 3 tendent simultanément versV 1 ou siV a tend versV 2, on aura à trouver pourt, H ouu les valeurs limites de quotients de fonctions prenant la forme 0/0. Cette limite sera indiquée dans le texte et se fait comme il a été indiqué précédemment, page 15. On voit que pour l’équation (50) il y aura un nombre considérade types partieuliers.
[4]Voir pour chaque équation (t) ce qui en a été dit au tableauT.
[5]Pourn=3 j’ai α ' +2α 2 -3α 10z ; je pose z=t ' t d’où t ''' +3 at '' +α ' +2α 8 -3α 10t ' =0 , c’est bien une équation, linéaire du second ordre suivie d’une quadrature.