zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
Sur la généralisation du problème de Dirichlet. Deuxième partie. (French) JFM 41.0427.02

Die vorliegende, in vier Kapitel gegliederte Abhandlung beschäftigt sich mit den Differentialgleichungen der Form

F(r,s,t,p,q,z,x,y)=0,p=z x,q=z y,r= 2 z x 2 ,s= 2 z xy,t= 2 z y 2 ,4F r ' F t ' -(F s ' ) 2 >0,F r ' F z ' <0·

In dem ersten Kapitel wird die spezielle Differentialgleichung r+t=f(x,y,z,p,q) betrachtet. Die Ergebnisse des ersten Teiles dieser Arbeit (Math. Ann. 62) werden präziser gefaßt und vervollständigt. Das zweite Kapitel ist der Zurückführung der allgemeinen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

A 2 z x 2 +2B 2 xy+C 2 z y 2 +2Dz x+2Ez y+Fz=m,AC-B 2 >0

auf die Normalform

2 z x 1 2 + 2 z y 1 2 +az x 1 +b y 1 +cz=d

gewidmet. In dem dritten Kapitel wird zunächst der folgende Hülfssatz bewiesen:

Es sei z 0 eine dem Werte α 0 des Parameters α entsprechende Lösung der analytischen Differentialgleichung

(1)F(r,s,t,p,q,z,x,y,α)=0,F r ' F z ' 0,

welche auf einem Kreise C um den Koordinatenursprung verschwindet und daselbst, sowie im Innern von C beschränkte Ableitungen der neun ersten Ordnungen hat. Alsdann gibt es eine positive Zahl ε, so daß für alle α, die der Beziehung |α-α 0 |<ε genügen, die Gleichung (1) eine im Innern des betrachteten Gebietes reguläre Lösung hat, die auf C mit z 0 übereinstimmt.

Alsdann wird die spezielle Differentialgleichung betrachtet:

Ar+2Bs+Ct=D,

unter A,B,C,D analytische Funktionen von x,y,z,p,q verstanden. Ist eine obere Schranke von |z|,|p|,|q| bekannt, so lassen sich obere Schranken für die partiellen Ableitungen aller Ordnungen der am Rande verschwindenden Lösung z angeben. Es gilt ferner der folgende Satz:

Es gibt für jeden Wert von α zwischen α 0 und α 1 eine im Innern eines Gebietes reguläre Lösung z(x,y) der Differentialgleichung (1), die am Rande vorgeschriebene Werte annimmt, wenn es für α=α 0 eine solche Lösung gibt, und wenn man a priori eine obere Schranke für z, z x, 2 z x 2 ,z y, z xy, 2 z y 2 , die nur von den auf dem Rande vorgeschriebenen Werten abhängt, angeben kann.

Das letzte vierte Kapitel enthält einige allgemeine Betrachtungen.


References:
[1]Mathematische Annalen 62.
[2]Math. Ann. t. 62. On trouvera une démonstration plus complète dans mon mémoire russe, où la rédaction de l’énoncé du lemme est un peu différente.
[3]Voir pour cette notation mon mémoire des Math. Ann. 62, on bien p. 106 du présent travail.
[4]Je tiens à rappeller que les conditions du lemme entraînent comme conséquence la natureanalytique de la solutionz. (Voir ?Sur la nature analytique etc.? Chap. I, Math. Ann. t. 59.)
[5]Picard, Traité d’analyse, t. II, p. 27.
[6]E. Picard, ?Sur la généralisation du problème de Dirichlet?, Acta Mathematica 25.
[7]?Sur la généralisation du problème de Dirichlet?, Math. Ann. 62, page 253.