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On a generalization of the functions berx,beix,kerx,keix. (English) JFM 42.0490.01

Die hier behandelten Funktionen sind nichts anderes als die Besselschen Funktionen mit dem Argument iix und zwar ist, wenn man ii=α setzt:

ber τ x+ibei τ x=I τ (αx),
ker τ x+ikei τ x=I τ (αx)+iY r (αx);

die Bezeichnung für die Besselsche Funktion zweiter Art Y τ ist dabei die des Nielsenschen Handbuchs.

Für die so definierten Funktionen wird eine größere Reihe von Formeln aus bekannten Formeln der Besselschen Funktionen hergeleitet; insbesondere Reihen nach steigenden Potenzen von x für die Funktionen selbst und gewisse Verbindungen derselben, z.B. ber τ xbei τ ' x-bei τ xber τ ' x; ferner Reihen nach fallenden Potenzen und Näherungsformeln für große Werte des Arguments. Auch gewisse Integralformeln, die Besselsche Funktionen enthalten, lassen sich auf die in Rede stehenden Funktionen übertragen.

Bemerkt werden mag, daß die Funktionen ber und bei für den Index r=0 zuerst von Lord Kelvin benutzt sind. Die entsprechenden Funktionen zweiter Art hat Russell in den Proceedings of the Physical Society, vol. 21, 1909, behandelt. Er nennt sie ker und kei. Die Funktionen ker und kei sind mit 1 2iπker 0 , und 1 2iπkei 0 identisch. Die Verallgemeinerung des Verf. besteht in der Einführung beliebiger Indizes r.