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The general theory of Dirichlet’s series. (English) JFM 45.0387.03
Cambridge University Press (1915).

Nachdem die beiden Verf. in Kapitel I die notwendigen Definitionen vorausgeschickt haben, beweisen sie in Kapitel II die bekannten elementaren Sätze über die Existenz der Halbebenen bedingter und absoluter Konvergenz allgemeiner Dirichletscher Reihen n=0 a n e -λ n s und im Kapitel III nach der Perronschen Methode die Formel für die Darstellung der Koeffizientensumme einer Dirichletschen Reihe durch ein bestimmtes Integral.

Das Hauptinteresse gewinnt das kurze, aber inhaltsreiche und anregende Buch durch die ausführliche Auseinandersetzung der Rieszschen Theorie der Summation Dirichletscher Reihen durch typische Mittel. Kapitel IV und V enthalten die Definition der typischen Mittel und die fundamentalen Sätze über Summation beliebiger unendlicher Reihen durch typische Mittel, die Riesz bereits in drei Noten der C. R. vom Jahre 1909 veröffentlicht hat (vgl. F. d. M. 40, 314, 1909). In den beiden folgenden Kapiteln werden die Rieszschen Summationsmethoden auf die Dirichletschen Reihen angewandt und erweisen sich als zeckmäßige Verallgemeinerung der Cesàroschen Mittelbildungen, die Bohr bei den Dirichletschen Reihen des speziellen Typus n=1 a n n s untersucht hat. Über die Bohrschen Resultate ist bereits in den F. d. M. 40, 313, 1909 ausführlich berichtet worden. Die in diesem Referat unter den Nummern 1. bis 8. angeführten Resultate werden in den Kapiteln VI und VII sämtlich auf die Summation allgemeiner Dirichletscher Reihen durch typische Mittel sinngemäß übertragen. Besonderes Interesse verdienen ferner einige, allerdings ohne Beweis angegebenen Sätze des Kapitels VI, die eine bekannte, auf Tauber zurückgehende Problemstellung bei Potenzreihen für die Dirichletsche Reihen behandeln; es werden hier auch die wichtigen Hardy-Littlewoodschen Verschärfungen des Tauberschen Satzes berücksichtigt. Siehe F. d. M. 42, 276, 1911; 43, 312, 1912; 44, 283, 1913. Das Kapitel VII enthält auch den Bohrschen Satz über die Halbebene gleichmäßiger Konvergenz Dirichletscher Reihen (vgl. F. d. M. 44, 307, 1913) und einige Verallgemeinerungen dieses Satzes über die gleichmäßige Konvergenz der typischen Mittel.

Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit der Multiplikation Dirichletscher Reihen. Auch hier führt die Methode der typischen Mittel zu schönen Resultaten, die sich in den Sätzen formulieren lassen:

Ist die Reihe f(s) für s=s 0 absolut konvergent und ist g(s) für s=s 0 durch typische Mittel von der Ordnung α summierbar, so ist ihr Dirichletsches Produkt f(s 0 )g(s 0 ) von der Ordnung α summierbar.

Wird von f(s) nur vorausgesetzt, daß es für s=s 0 durch typische Mittel von der Ordnung β summierbar ist, so ist das Dirichletsche Produkt f(s 0 )g(s 0 ) durch typische Mittel von der Ordnung α+β+1 summierbar.

Bei vielen für die Theorie der Dirichletschen Reihen grundlegenden Sätzen, so z. B. bei dem sogenannten Schnee-Landauschen Satz, bei dem Landauschen Satz über Multiplikation, konnte auf das Landausche Handbuch (vgl. F. d. M. 40, 232, 1909) verwiesen werden, das die diesbezüglichen Beweise bereits in mustergültigen Darstellungen enthält.