zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles. (French) JFM 46.0520.06

Das Problem der Iteration einer rationalen Funktion ϕ(z) besteht in dert Bildung der Folge z 1 =ϕ(z),z 2 =ϕ(z 1 ),(z n =ϕ n (z n-1 );z n ist “Nachfolger” n-ter Ordnung von z, z ist “Vorgänger” n-ter Ordnung von z n ) und der Untersuchung der Häufungspunkte ζ der Menge z 1 ,z 2 ,,z n , (auch als Funktion von z4). Über diese Frage lagen bisher in der Literatur nur Einzelresultate (Fatou C. R. 143, 546; F. d. M. 37, 347 (JFM 37.0347.*), 1906; vgl. ferner das zweitletzte Ref.), insbesondere die folgenden elementaren Sätze vor: 1. Ein regulärer Konvergenzpunkt ζ ist eine Wurzel von ϕ(x)-z=0, für welche |ϕ ' (ζ)|<1 ist. In seiner genügend kleinen Umgebung ist stets lim n= ϕ n (z)=ζ. 2. Unter einer “zyklischen Gruppe von Konvergenzpunkten” wird eine Gruppe von Punkten ζ,ζ 1 ,,ζ p-1 verstanden mit der Eigenschaft ζ 1 =ϕ(ζ),ζ 2 =ϕ(ζ 1 ),,ζ=ϕ(ζ p-1 ) und |ϕ ' (ζ)|,|ϕ ' (ζ 1 )|,,|ϕ ' (ζ p-1 )|<1. In einer genügend kleinen Umgebung von ζ i ist dann lim k= z ki =ζ i ,lim k= z ki+1 =ζ i+1 usw. (Koenigs, Ann. de l’Éc. Norm. 1884).

Im ersten Teil der Arbeit betrachtet der Verf. zunächst die abzählbare Menge E aller Wurzeln von z=ϕ n (z)(n=1,2,3,), für welche |ϕ n ' (z)|>1 ist. (In einem Nachtrage wird gezeigt, daß es entweder eine Wurzel von ζ=ϕ(ζ) gibt, für welche |ϕ ' (ζ)|>1, oder eine solche, für die |ϕ ' (ζ)|=1 ist. Im ersten Falle ist die Existenz von E klar. Im zweiten Falle läßt sich zeigen, daß es Punkte ζ n gibt, die zu ζ konvergieren und für welche |ϕ n ' (ζ n )|>1 ist.) Mit Heranziehung der Untersuchungen von Montel über Normalfolgen Funktionen (vgl. das Ref. auf S. 519) wird für diese Menge folgendes gezeigt: In jedem Kreis, dessen Mittelpunkt in E liegt, nehmen die Funktionen ϕ(z) (von einem gewissen Index an), mit eventueller Ausnahme von zwei Werten, jeden komplexen Wert an. Es lassen sich sogar die Fälle, wo zwei oder ein Wert nicht angenommen wird, genau charakterisieren. In dem ersten Falle ist, wenn als Ausnahmewerte a und festgelegt werden (dies läßt sich durch eine lineare Transformation stets erreichen), z 1 -1=(z-a) k (k>0 ganz); der zweite Fall tritt dann und nur dann ein, wenn (Ausnahmewert gleich )ϕ(z) ein Polynom ist. Daraus wird geschlossen, daß E in sich dicht und E ' perfekt ist. Die Punkte von E ' sind ferner durch die oben erwähnte Eigenschaft vollständig charakterisiert. – Es wird dann die Struktur von E ' weiter untersucht. E ' kann eine perfekte Menge sein oder auch die ganze Ebene umfassen. Für den ersten Fall werden auch Beispiele angegeben. (Daß der zweite auch eintreten kann, wurde erst durch Lattés – vgl. das nachst. Ref. – bestätigt.) Endlich wird das Haupttheorem des ersten Teiles im folgenden zusammengefaßt: In jedem Bereiche D, der keinen Punkt von E ' enthält, ist die Folge ϕ(z) normal. Konvergiert eine Teilfolge von {ϕ(z)} in einem einzigen Punkte von D, so konvergiert sie somit überall in D. Die Grenzfunktion einer solchen Teilfolge verhält sich regulär in D. Die Menge E ' stellt genau die Menge der (wesentlichen) Singularitäten sämtlicher Grenzfunktionen der Folge {ϕ n (z)} dar. Mit Rücksicht auf die obige Charakterisierung von E ' merkt man hier eine auffallende Analogie zu dem Picardschen Satze.

Im zweiten Teile werden “reguläre Konvergenzpunkte” und “zyklische Gruppen von Konvergenzpunkten” (vgl. oben) betrachtet. (Solche Punkte brauchen nicht notwendigerweise zu existieren.) Die Menge aller Punkte, deren Nachfolger gegen einen regulären Konvergenzpunkt ζ konvergieren, besteht aus einfach zusammenhängenden und durch Punkte von E ' begrenzten Bereichen R. Sie enthält natürlich auch ζ selbst. Jeder solche Bereich R enthält für sich stets einen kritischen Punkt der inversen Funktion ψ(z) von ϕ(z) (und zwar wird hier unter ψ ' (z) der Zweig verstanden, der für z=ζ gleich ζ ist). Dieser Punkt ist Nachfolger eines in R liegenden Punktes, wo ϕ ' (z)=0 ist. Analoge Ergebnisse gelten für zyklische Gruppen von Konvergenzpunkten. Daraus folgt der wichtige Satz: Für eine vorgegebene rationale Funktion ist die der regulären Konvergenzpunkte (sowie die der zyklischen Gruppen von Konvergenzpunkten) stets endlich. Damit ist eine Vermutung von Koenigs (a. a. O. 401) widerlegt. Die einzelnen Bereiche R können auch in unendlicher Anzahl vorhanden sein; sie hängen dann nicht miteinander zusammen und die Menge ihrer Randpunkte ist genau mit E ' identisch. (Im Falle der regulären Konvergenz ist jedoch diese Anzahl entweder 1 oder .) Einige interessante Beispiele bilden den Schluß des zweiten Teiles.

Im dritten Teile werden Beispiele konstruiert, in welchen E ' eine einfache Jordansche Kurve ist, die an einer überall dicht liegenden Teilmenge keine Tangente besitzt, oder eine stetige, geschlossene Kurve mit überall dicht liegenden durch einfache Vereinigung von (unendlich vielen) gewöhnlichen Jordanschen Kurven erzeugt wird.

Der vierte Teil enthält die Untersuchung der Konvergenz gegen einen Punkt ζ, für welchen

ζ=ϕ(ζ)und|ϕ ' (ζ)=1,d.h.ϕ ' (ζ)=e iα

ist, sowie das entsprechende Problem für eine Gruppe von Konvergenzpunkten: Ist α kommensurabel zu 2π, dann gehört ζ zu E ' und die früher erhaltenen Sätze gelten im wesentlichen auch in diesem Falle. Viel schwieriger gestalten sich die Verhältnisse, wenn α zu 2π inkommensurabel ist. In diesem Falle erhält der Verf. keine abgeschlossenen Resultate.