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Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. (German) JFM 46.1131.02
Göttingen, Zürich: O. Füssli, 120 S. 8 (1918).

Die Arbeit behandelt die differentialgeometrischen Grundbegriffe, sowie die Theorie der Kurven und Flächen in mehrdimensionalen Räumen unter Zugrundelegung einer verallgemeinerten Längenbestimmung. Ist 𝔵=𝔵(t) ein vom Parameter t abhängiger Vektor des n-dimensionalen Raumes, 𝔵 ' =d𝔵 dt, so wird die Bogenlänge zwischen den Punkten (t 0 ) und (t) durch das Integral

s= t 0 t F(𝔵,x ' )dt

erklärt, wo F für jede positive Zahl k der Gleichung

F(𝔵,k𝔵 ' )=kF(𝔵,x ' )

genügt. Es handelt sich also um ein Variationsproblem. Die Extremalen, d. h. die Integrale der Lagrangeschen Differentialgleichungen, vertreten die Stelle der geraden Linien der gewöhnlichen Geometrie. Der Winkel zwischen zwei Kurven 𝔵=𝔵(t),𝔶=𝔶(t) wird definiert durch

cosφ=lim t0 0 τ(t) F(𝔶,y ' )dτ 0 t F(𝔶,y ' )dt·

Die Begriffe Projektion, Berührung von Kurven, Winkel zweier Ebenen, Berührung zwischen Kurve und Raum werden allgemein festgelegt.

Damit läßt sich nun in der Umgebung eines Linienelements eine Kurventheorie eindeutig entwickeln, in der sich die erste Krümmung und die höheren Krümmungen so definierten lassen, daß natürliche Gleichungen gelten, in denen die Krümmungen und ihre Ableitungen nach der Bogenlänge als Differentialinvarianten auftreten.

Eine Fläche (ν-dimensionaler Raum) wird durch einen von ν skalaren Parametern abhängigen Vektor

𝔵=𝔵(u 1 ,u 2 ,,u ν )

erklärt; die Bogenlänge einer Kurve dieses Raumes durch das Integral

s= t 0 t F(𝔵, α 𝔵 u α ' )dtα=1,2,,ν;u α ' =du α dt·

Oder die Fläche wird durch n-ν Gleichungen G β (𝔵)=0(β=1,2,,n-ν) zwischen den n Komponenten des Vektors 𝔵 definiert, und die Länge einer Kurve

s= t 0 l F(𝔵,x ' )dt·

Die Extremalen dieses Integrals, aber mit den Nebenbedingungen G β (𝔵)=0, gelten als geodätische Linien der Fläche, die zugehörigen Krümmungen als geodätische Krümmungen, usw. Viele Sätze der gewöhnlichen Flächentheorie lassen sich ohne weiteres verallgemeinern, so der Satz von Meusnier, die Sätze über Asymptotenlinien, geodätische Krümmung, Normalkrümmung, der Begriff der Duppinschen Indikatrix, auch der Zusammenhang zwischen dieser und der Normalkrümmung bei geeigneter Wahl der Maßbestimmung in dem betrachteten Flächenpunkte, und damit der Begriff der Hauptkrümmungen, der mittleren Krümmung und des Krümmungsmaßes als arithmetisches Mittel und Produkt der Hauptkrümmungen. Im allgemeinen gilt aber nicht der Satz von Gauß, daß das Krümmungsmaß durch die Maßbestimmung allein bestimmt ist, vielmehr muß hier eine Unterscheidung zwischen äußerer und innerer Krümmung durchgeführt werden. Weiter liegen Untersuchungen über Parallelkurven, Krümmungslinien (bei besonderer Maßbestimmung), abwickelbare Flächen u. a. vor.

Dagegen Arbeit noch zu zeigen, daß eine Fläche durch ihre Krümmungen und geeignete Anfangsbedinungen eindeutig bestimmt ist. Ebenso liegen keine Untersuchungen über die Fundamentalgleichungen vor, für die, wie schon das Beispiel der Gaußschen Relation zeigt, die Verhältnisse gewiß ganz anders sind als im gewöhnlichen Falle.

Literatur über frühere Arbeiten ist zwar angegeben, aber nicht vollständig.