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History of the theory of numbers. Vol. I. Divisibility and primality. (English) JFM 47.0100.04
XII u. 486 S. (1919). Vol. II. Diophantine analysis. XXII u. 803 S. (1920). Carnegie Institution of Washington. Publication Nr. 256, gr. 8 (1919).

“Das Werk von Cantor und seinen Mitarbeitern zeigt, daß in vier starken Bänden eine chronologisch geordnete Geschichte der Mathematik bis zum Anfang des neunzehnten Jahrhundert abgefaßt werden kann. Um das letzte Jahrhundert mit gleicher Sorgfalt zu behandeln, hätte man schätzungsweise fünfzehn Bände nötig, – so umfangreich ist die mathematische Literatur dieses Zeitalters. Wollte man sich an die zeitliche Reihenfolge halten und demnach je einen starken Band einem Zeitraum von sieben Jahren widmen, so würde man gegen den Hauptzweck einer Geschichte der Mathematik verstoßen, ganz abgesehen davon, daß es dann sehr schwierig sein würde, das Material zusammenzufassen, das sich auf ein bestimmtes Gebiet der mathematischen Wissenschaft bezieht. Auf jeden Fall besteht ein Bedürfnis nach geschichtlichen Werken, die die Entwicklung einzelner Kapitel der Mathematik von den ältesten Zeiten an bis auf unsere Tage hin verfolgen. Bei der Zahlentheorie erscheint diese Art der geschichtlichen Darstellung darum besonders geboten, weil für diese Wissenschaft sich durch alle die Jahrhunderte seit Pythagoras nicht nur fast alle namhaften Mathematiker, sondern auch zahllose Liebhaber lebhaft interessierten. – Kein anderer Zweig der Mathematik hat auf die Amateure eine gleich starke Anziehungskraft auszuüben vermocht”.

In dem vorliegenden, auf drei Bände berechneten Werke hat sich der Verf. das Ziel gesetzt, das gesamte Gebiet der Zahlentheorie im Sinne der vorstehenden Ausführungen zu behandeln. Diese Aufgabe, der bis zur Ausgabe des zweiten Bandes neun Jahre harter Arbeit gewidmet waren, ist, dies mag sogleich vorweggenommen werden, in glänzender Weise gelöst. Voll Bewunderung steht man vor diesem Zeugnis eines ausgedehnten Wissens, eines seltenen Fleißes und vor allem einer großen Liebe zu dem behandelten Gegenstand. Nur ein Kenner und begeisterter Liebhaber der Zahlentheorie konnte ein solches Werk vollbringen. Hoffen wir, daß es dem Verf. gelingen wird, den dritten, der arithmetischen Theorie der Formen, der Theorie der Reste und Reziprozitätssätze gewidmeten Band seines großen Werkes recht bald herauszugeben und damit sein Unternehmen zu krönen.

Wie in der Einleitung zu dem ersten Bande des näheren ausgeführt wird, bediente sich der Verf. bei der Zusammenstellung der Literatur einer großen Anzahl (mehr als zehn) historischer Sammelwerke, er durchsuchte die Büchereien der Universitäten von Chicago, California und Cambridge, sowie des Trinity College in Cambridge, ferner die John Crerar Bibliothek in Chicago, sowie die bekannte Sammlung seltener Bücher und Manuskripte von G. A. Plimpton in New York. Im Jahre 1912 machte der Verf. ausgedehnte Studien in den Bibliotheken des British Museum, des Kensington Museum, der Royal Society, der Cambridge Philosophical Society, der Bibliothèque Nationale, der Université de Paris, der St. Geneviève, des Institut de Francs, der Universität Göttingen und der früheren Königlichen Bibliothek in Berlin.

Über den Umfang der zusammengetragenen Literatur mögen die folgenden Zahlen eine Vorstellung vermitteln. In den zwanzig Kapiteln des ersten Bandes finden sich mehr als 3180, in den sechsundzwanzig Kapiteln des zweiten Bandes mehr als 4070 Fußanmerkungen. Die Aufstellung der zitierten Autoren (kapitelweise geordnet) umfaßt 17 bzw. 22 Seiten mit insgesamt mehr als 6300 Namen, das Sachregister (subject index) 3 bzw. 5 Seiten mit insgesamt mehr als 1030 einzelnen Begriffen und Bezeichnungen.

Dem eigentlichen Text ist in je einem einleitenden Kapitel (X bzw. XX S.) eine ausführliche Inhaltsangabe des Werkes vorausgeschickt worden. Sie ist so abgefaßt, daß auch ein Leser ohne weitergehende Spezialkenntnisse sich ganz gut über den Inhalt der beiden Bücher informieren kann. Es würde der Bedeutung des großen Werkes nur angemessen sein, wenn die gesamte Einleitung an dieser Stelle im Wortlaut wiedergegeben werden würde. Da dies sich wegen Raummangels verbietet, so müssen wir uns mit einer Inhaltsübersicht begnügen.

Band I. Teilbarkeit. (Divisibility and primality). Einleitung. I. Kap. Vollkommene, mehrfach vollkommene (multiply perfect) und befreundete (amicable) Zahlen (S. 3-50). II. Kap. Formeln für Anzahl und die Summe der Teiler, Probleme von Fermat und Wallis (S. 51-58). III. Kap. Die Sätze von Fermat und Wilson Verallgemeinerungen und reziproke Sätze. Symmetrische Funktionen von 12 ˙,s ˙,p-1mod.p. IV. Kap. Der Rest von u p-1 -1 pmod.p (S. 105-112). V. Kap. Die Eulersche Φ-Funktion. Verallgemeinerungen. Die Fareyschen Reihen (S. 113-158). VI. Kap. Periodische Dezimalbrüche. Periodische Systembrüche. Faktoren von 10 n ±1 (S. 159-179). VII. Kap. Primitive Wurzeln. Exponentenn. Indizes. Binomische Kongruenzen (S. 181-222). VIII. Kap. Höhere Kongruenzen (S. 223-262). Eine Kongruenz n-ten Grades hat höchstens n Wurzeln, wenn der Modulus p eine Primzahl ist. Anzahl der Wurzeln. Theorie höherer Kongruenzen. Galoissche Imaginäre. Kubische Kongruenzen. Verschiedene Resultate über Kongruenzen. IX. Kap. (S. 263-278). Teilbarkeit der Fakultäten und der Polynomialkoeffizienten. Höchste Potenz einer Primzahl, die in m! aufgeht. Ganze Zahlen als Quotienten von Fakultäten. Reste der Polynomialkoeffizienten. Die Kongruenz 12 ˙3 ˙s ˙p-1/2±1(mod.p). X. Kap. (S. 279-325). Summe und Anzahl der Teiler. XI. Kap. Verschiedene Sätze über die Teilbarkeit, der größte gemeinsame Teiler, das kleinste gemeinsame Vielfache (S. 327-336). XII. Kap. Kriterien für die Teilbarkeit durch eine gegebene Zahl (S. 337-346). XIV Kap. Tabellen der Teiler und der Primzahlen (S. 347-356). XIV. Kap. Methoden für die Zerlegung in Faktoren. Zerlegung mit Hilfe der Darstellung als Differenz zweier Quadrate. Zerlegung unter Benutzung binärer quadratischer Formen. Benutzung verschiedener Methoden (S. 357-374). XV. Kap. Die Fermatschen Zahlen F n =2 2 n +1 (. 375-380). XVI. Kap. Faktoren von a n ±b n . Faktoren von Trinomen (S. 381-391). XVII. Kap. Rekurrente Reihen. Die Lucasschen Zahlen u n ,v n . Algebraische Theorie der rekurrenten Reihen (S. 393-411). XVIII. Kap. Theorie der Primzahlen (S. 413-440). Existenz unendlich vieler Primzahlen. Unendlichviele Primzahlen in einer arithmetischen Reihe. Unendlich vielen Primzahlen in einer quadratischen Form. Elementare Beweise für die Existenz unendlich vieler Primzahlen von der Form mz+1 für alle m. Elementare Beweise für die Existenz unendlich viler Primzahlen in besonderen arithmetischen Reihen. Polynome, die viele Primzahlen enthalten. Der Goldbachssche Satz. Analoge Sätze. Kriterien für den Primzahlcharakter einer Zahl. Das Postulat von Bertrand. Verschiedene Sätze über Primzahlen. Diatomische Reihen (diatomic series). Asymptotische Verteilung der Primzahlen. XIX. Kap. Umkehrung zahlentheoretischer Funktionen. Die Möbiussche Funktion μ(m). Zahlentheoretische Integrale und Derivierte (numerical integrals and derivatives) (S. 441-451). XX. Kap. Eigenschaften der Ziffern einer Zahl (S. 453-465).

Band II. Diophantische Analysis. (Diophantine analysis.) Einleitung. I. Kap. Polygonale, pyramidale und figurierte Zahlen (S. 1-39). II. Kap. Lineare diophantische Gleichungen und Kongruenzen. Auflösung der Gleichung ax+byc. Auflosung der Kongruenz axb(mod.m) ohne Benutzung des Fermatschen Satzes. Auflösung der gleichen Kongruenz mit Hilfe des Fermatschen oder des Wilsonschen Satzes. Das chinesische Restproblem. Anzahl ganzer positiver Lösungen von ax+by=n (a>0,b>0 relative Primzahlen). Eine lineare Gleichung mit drei, bzw. mit n>3 Unbekannten. Systeme linearer Gleichungen. Eine lineare Kongruenz mit zwei oder mehr Unbekannten. Systeme linearer Kongruenzen. Lineare Formen mit reellen Koeffizienten; Approximation (S. 41-99). III. Kap. Zerlegung in Summanden (partitions) (S. 101-164). IV. Kap. Rationale rechtwinklige Dreiecke. Auflösung der Gleichung x 2 +y 2 =z 2 in ganzen Zahlen. Dreieckseiten teilbar durch 3,5 oder 7. Anzahl rechtwinkliger Dreiecke mit einer vorgegebenen Seite. Rechtwinklige Dreiecke gleichen Flächeninhalts. R. D., deren Flächeninhalte ein gegebenes Verhältnis haben. Andere Probleme betreffend Flächeninhalt allein, oder diesen und zugleich andere Elemente. R. D., deren Seiten um 1 differieren. R. D. mit vorgegebener Summe oder Differenz der Katheten. Zwei r. D. mit gleicher Differenz der Katheten, die größere Kathete des einen gleich der Hypotenuse des andern. Aufgaben, die nur die Seiten und nicht den Flächeninhalt betreffen. R. D. mit einer rationalen Winkelhalbierenden. Tabellen (S. 165-190). V. Kap. Dreiecke, Vierecke und Tetraeder mit rationalen Seiten. Rationale (Heronische) Dreiecke. Paare rationaler Dreiecke. D., deren Seiten und Seitenhalbierende (medians) alle rational sind. D. mit rationalen Seiten und einer rationalen Seitenhalbierenden. Parallelogramme mit rationalen Seiten und Diagonalen. Heronische D. mit einer rationalen Seitenhalbierenden. Heronische Parallelogramme. D. mit rationalen Seiten und einer linearen Relation zwischen den Winkeln. Verschiedene Resultate über D. mit nicht notwendig rationalem Flächeninhalt. Rationale Vierecke. Rationale Kreispolygone (inscribed polygons). Rationale Pyramiden. Rationale körperliche Ecken (mit drei Seiten) (S. 191-224). VI. Kap. Summe zweier Quadrate (S. 225-257). VII. Kap. Summe von drei Quadraten (S. 275-303). IX. Kap. Summe von n Quadraten. Darstellung als Summe von fünf oder mehr Quadraten. Beziehungen zwischen Quadraten (S. 305-323). X. Kap. Anzahl der Lösungen quadratischer Kongruenzen mit n Unbekannten (S. 325 bis 327). XI. Kap. Elf zahlentheoretische Abhandlungen von Liouville (S. 329-339). XII. Kap. Die Pellsche Gleichung; ax 2 +bx+c als ein Quadrat (S. 341-400). XIII. Kap. Weitere Gleichungen zweiten Grades. Gleichungen, die in bezug auf eine Unbekannte linear sind. Auflösung einer Gleichung x 2 -y 2 =q. Auflösung der Gleichung ax 2 +bxy+cy 2 =dz 2 . Die Gleichung ax 2 +by 2 =c. Die Gleichung ax 2 +bxy+cy 2 =k. Auflösung der Gleichung Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0. Weitere quadratische Gleichungen mit drei oder mehr Unbekannten (S. 401-434). XIV. Kap. Quadrate in arithmetischer oder geometrischer Progression (S. 435-441). XV. Kap. Zwei oder mehr lineare Funk tionen als Quadrate (S. 413-458). XVI. Kap. Zwei quadratische Funktionen von einer oder zwei Unbekannten als Quadrate (S. 459-484). XVII. Kap. Systeme von zwei Gleichungen zweiten Grades (S. 485-489). XVIII. Kap. Drei oder mehr quadratische Funktionen von einer oder zwei Unbekannten als Quadrate (S. 491-495). XIX. Kap. Systeme von drei oder mehr Gleichungen zweiten Grades von drei oder mehr Unbekannten: Die Ausdrücke x 2 +y 2 ,x 2 +z 2 ,y 2 +z 2 als drei Quadrate. Vier Quadrate, deren Summen zu je dreien wieder Quadrate sind. Drei Quadrate, deren Differenzen neue Quadrate ergeben. Weitere Systeme von drei oder mehr linearen Funktionen von drei oder mehr Quadraten, die selber Quadrate darstellen. Quadratische Formen in x,y;x,z;y,z als Quadrate; xy+a,xz+a,yz+a als Quadrate. Verschiedene damit zusammenhängende oder ähnliche Probleme. Rationale orthogonale Substitutionen ( S. 497-532). XX. Kap. Quadratische Formen als n-te Potenzen (S. 533-544). XXI. Kap. Gleichungen dritten Grades. Unmöglichkeit der Gleichung x 3 +y 3 =z 3 · Zwei gleiche Summen von je zwei Kuben. Drei gleiche Summen von je zwei Kuben. Die Gleichung 2(x 3 +z 3 )=y 3 +t 3 · Beziehungen zwischen fünf oder mehr Kuben. Summe dreier Kuben als ein Quadrat. Binäre kubische Form als ein Kubus oder als ein Quadrat. Die Gleichung x 3 +y 3 =Az 3 · Summe oder Differenz von zwei Kuben als ein Quadrat. Weitere ähnliche Probleme. Homogene kubische Gleichung F(x,y,z)=0· Ternäre kubische Form gleich Konst. Verschiedene (einzelne) diophantische Gleichungen dritten Grades. Systeme eben solcher Gleichungen mit zwei. drei, vier oder mehr Unbekannten (S. 545- 613). XXII. Kap. Gleichungen vierten Grades. Auflösung der Gleichungen 2x 4 -y 4 =;x 2 +y 2 =B 4 ,x+y=A 2 ;x 4 -2y 4 =;z 4 +8w 4 =ax 4 +by 4 ein Quadrat oder Multiplum eines Quadrats; ax 4 +by 4 +dx 2 y 2 ein Quadrat; Polynom vierten Grades ein Quadrat; A 4 +B 4 =C 4 +D 4 ; Unmöglichkeit einer Gleichung von der Form A 4 +B 4 +C 4 =D 4 ; vier oder mehr Biquadrate ein Biquadrat und verwandtes (S. 615-671). XXIII. Kap. Gleichungen n-ten Grades. Auflösung der Gleichung f = konst., unter f eine binäre Form n-ten Grades verstanden. Rationale Punkte der ebenen Kurve f(x,y,z)=0· Produkt von n konsekutiven ganzen Zahlen ist keine Potenz. Summe n-ter Potenzen als n-te Potenz. Rationale Lösungen der Gleichung x y =y x · Die Formel 1 x+1 y=1 a und ihre Verallgemeinerungen. Verschiedene Gleichungen n-ten Grades (n > 4); Systeme solcher Gleichungen (S. 673-703). XXIV. Kap. Systeme natürlicher Zahlen, von denen gewisse Potenzen die gleiche Summe haben (S. 705-716). XXV. Kap. Das Waringsche Problem und verwandtes (S. 717- 729). XXVI. Kap. Der große Fermatsche Satz; ax r +by s =cz t ;x n +y n z n (mod. p) (S. 731-776).

Innerhalb eines jeden Kapitels ist der Stoff chronologisch geordnet. Es lag, wie aus der vorstehenden Übersicht ersichtlich, nicht in der Almsicht des Verfassers, den historischen Entwicklungsgang der Zahlentheorie als Ganzes zu schildern. Eine lückenlose Sammlung und übersichtliche Zusammenstellung des Materials galt ihm als die Hauptsache. Daher eine von den üblichen stark abweichende Anordnung des Stoffes.