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Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien. (Über das Rechnen mit nicht-vertauschbaren Faktoren und dessen Anwendung in der Gruppentheorie.). (Danish; German) JFM 48.0123.03

Es seien gegeben nErzeugendea 1 ,...,a n , sowie die “Reziprokena i -1 ; aus den Erzeugenden werden durch Multiplikation “Elementeα=(a i ±1 ) gebildet, wobei eine Erzeugende und ihre Reziproke, die nebeneinanderstehen, sich wegkürzen. Es sei nun S=(α 1 ,...,α m ) ein Elementsystem, welches neue Elemente (α i ±1 ) erzeugt; zwei Elementsysteme sind äquivalent, wenn sie sich gegenseitig erzeugen. Charakteristisch für das System S=(α 1 ,...,α m ) ist die Zahl g(S)= i=1 m g(α i ), wo g(α i ) die Summe aller absolut genommenen Exponenten in α i bedeutet. Es läßt sich nun das System S sukzessiv äquivalent abändern, nämlich durch zwei Operationen nach der unten näher angegebenen Absicht, wobei g(S) entweder verkleinert wird oder ungeändert bleibt; zum Schluß erhalten wir das “reduzierte SystemS * mit folgenden zwei Eigenschaften: In keinem Produkt zweier Elemente läßt sich mehr als die Hälfte des einen Elements wegkürzen; in keinem Produkt dreier Elemente läßt sich das mittlere vollständig wegkürzen. Ein Elementsystem (γ 1 ,...,γ r ) ist unabhängig, wenn es keine wesentliche Relation 𝛤=γ i ±1 =1 gibt, d. h. eine Relation, wo die γ’s nicht direkt weggekürzt werden, wo aber doch die Erzeugenden nach Einsetzung in die Elemente γ sich wegkürzen. Es gilt nun der Satz: Jedes reduzierte System S * ist unabhängig. Und außerdem: Haben S und S * dieselbe Elementanzahl, dann ist auch S unabhängig; hat dagegen S größere Elementanzahl als S * , dann ist S abhängig. -Endlich wird das Erzeugungsproblem gelöst. D. h. S=(α 1 ,...,α m ) und das Element β1 sind gegeben; erzeugt das System S das Element β? Man bildet das reduzierte System S * , und für dieses schreibt man die linkeGroßendsammlung” sowie auch die linkeHalbendsammlung” auf; das linke Großende eines Elements enthält die ersten r+1 Faktoren des Elements, wenn die g-Zahl desselben 2r oder 2r+1 ist; die linke Großendsammlung des Systems enthält dann die linken Großenden der Elemente von S * +S *-1 . In die linke Halbendsammlung von S * nimmt man das linke Halbende eines Elements mit gerader g-Zahl in S * +S *-1 auf, wenn das komplementäre Halbende sich auf mindestens zwei Stellen in S * befindet. Wird nun β von S * erzeugt, dann muß β mit einem bestimmten Ende der ersten oder der zweiten Sammlung beginnen; dadurch wird die Erzeugung von β auf die Erzeugung von β ' reduziert, wo g(β ' )g(β). In dieser Weise fahren wir fort, bis wir ein Element β erreichen, das entweder 1 ist oder nicht mit einer Folge von Erzeugenden der zwei Sammlungen anfängt, in welchem letzteren Fall β nicht von S * erzeugt wird

Alle Elemente, die von a 1 ,...,a n erzeugt werden, bilden eine “freie GruppeG n , d. h. zwei in den a’s unkürzbare verschiedene Produkte bedeuten zwei verschiedene Elemente. Ist (α 1 ,...,α m ) ein Elementsystem, dann bildet die Sammlung der durch α 1 ,...,α m erzeugten Elemente ebenso eine Gruppe [α 1 ,...,α m ], die Untergruppe von G n ist (eine Gruppe braucht aber nicht durch ein Elementsystem bestimmt zu werden); diese Untergruppe braucht aber nicht frei zu sein, d. h. zwei Elemente der Gruppe können verschieden sein, wenn sie in den a’s geschrieben werden, dagegen als identisch sich erweisen in den a’s. Ist aber (a 1 * ,...,a p * ) ein reduziertes System von (α 1 ,...,α m ), dann ist die Gruppe [α 1 * ,...,α p * ] wieder eine freie Gruppe; sie stellt die Gruppe [α 1 ,...,α m ] als freie Gruppe dar. S ist ein Primitivsystem, wenn die Gruppe [α 1 ,...,α m ] eben die ganze Gruppe G n ist; die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß S ein Primitivsystem sei, ist, daß S * eine Permutation der ursprünglichen Erzeugenden, mit den Exponenten ±1 versehen, sei. Geht kein Element durch die Reduktion von S auf S * verloren, d. h. ist S unabhängig, dann lassen sich die Elemente von S und A=(a 1 ,...,a n ) einander eineindeutig zuordnen, und diese Zuordnung ist eine isomorphe Transformation oder eine Autoisomorphie für die Gruppe G n ; jede Relation zwischen den Elementen von G n geht durch eine isomorphe Transformation in eine gültige Relation über. Dem unabhängigen Primitivsystem S=(α 1 ,...,α n ) entspricht eine gewisse quadratische Matrix |d ik |, wo d ik die algebraische Summe der Exponenten von a k in a i ist; ist das System S gerade A=(a 1 ,...,a n ), dann ist die Matrix die Einheitsmatrix; die isomorphe Transformation ändert nicht den absoluten Wert der entsprechenden Determinante, die also gleich ±1 ist. (Diese notwendige Bedingung für eine isomorphe Transformation reicht noch nicht hin.) In dieser Weise erreicht man eine Verbindung mit der Theorie der linearen Gleichungen. – Eine Systemklasse, d. h. die Menge aller gegenseitig äquivalenten Systeme, kann mehrere reduzierte Systeme enthalten; dieselben haben aber alle dieselbe Elementanzahl, die Grundzahl der Klasse; diese Zahl ist auch die Elementanzahl jedes unabhängigen Systems der Klasse, und jedes System der Klasse von dieser Elementanzahl ist unabhängig. Ebenso haben die reduzierten Systeme derselben Klasse dieselbe g-Zahl und dieselbe Verteilung derselben auf die g-Zahlen der einzelnen Elemente; hieraus folgt, daß die Anzahl der reduzierten Systeme derselben Klasse endlich ist. Zur Erzeugung einer Untergruppe sind alle unabhängigen Systeme ebenbürtig; kennt man die Bestimmung durch ein unabhängiges Elementsystem, so erhält man alle andern Erzeugungen durch alle möglichen isomorphen Transformationen der Elemente. Diese Behandlung der Gruppentheorie ist natürlich dadurch beschränkt, daß nicht sämtliche Gruppen sich als freie Gruppen darstellen lassen.