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Congruence properties of partitions. (English) JFM 48.0150.02

Die vorliegende, aus dem Nachlaß des früh Verstorbenen durch G. H. Hardy herausgegebene und mit Bemerkungen versehene Arbeit beschäftigt sich mit Kongruenzeigenschaften der Koeffizienten der Potenzreihe

1+p(1)x+p(2)x 2 +=1 (1-x)(1-x 2 )(1-x 3 )·

Bezeichnet σ a (n) die Summe der α-ten Potenzen sämtlicher Teiler von n, so gilt:

p(n-1)-p(n-26)-p(n-51)+p(n-126)+p(n-176)-p(n-301)-nσ 1 (n)(mod.5);p(n-2)-p(n-51)-p(n-100)+p(n-247)+p(n-345)-p(n-590)-n 2 σ 1 (n)-nσ 3 (n)(mod.7);p(n-5)-p(n-126)-p(n-247)+p(n-610)+p(n-852)-p(n-1457)--n 4 σ 1 (n)+3n 3 σ 3 (n)++3n 2 σ 5 (n)-5nσ 7 (n)(mod.11)·

Hierbei ergeben sich die linkerhand (in dem Argument von p) auftretenden Zahlen aus

1 2(5n-1)(15n-2),1 2(5n+1)(15n+2),1 2(7n-1)(21n-4),1 2(7n+1)(21n+4),1 2(11n-2)(33n-5),1 2(11n+2)(33n+5),

für n=0,1,2,. (Für n=0 ist 1, 2, bzw. 5 nur einmal zu behalten.) Man erhält so u. a. die Kongruenzen


Für diese letzte Kongruenz wird noch ein direkter Beweis mitgeteilt.