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Das Integral und die trigonometrische Reihe. (Russian) JFM 48.1368.01

Die im Jahre 1915 unter dem Titel “Das Integral und die trigonometrische Reihe” herausgegebene Dissertation des Verf.s hatte den Zweck, die möglichen Grenzen der Weiterbildung der beiden Begriffe des Integrals und der trigonometrischen Fourierreihe zu bestimmen und dabei diejenigen Probleme klar hervortreten zu lassen, welche die erwähnte Entwicklung fördern. Unter Benutzung der allgemeinen Methoden, welche die Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen zu jener Zeit besaß, definiert der Verf. viele neue Begriffe und wirft eine Menge neuer Fragen auf, welche zum Teil erst in neuerer Zeit vollständig gelöst worden sind. Indem das besprochene Werk nur einen Teil der aufgeworfenen Fragen beantwortet, wurde es also zum Ausgangspunkte weiterer Untersuchungen verschiedener Autoren.

In Kap. I weist der Verf. hin auf die Bildung einer meßbaren Menge als Summe einer abzählbaren Menge perfekter Mengen und einer komplementären Menge vom Maße Null. Daneben wird die Bildung einer beliebigen Funktion erwähnt, welche vom Verf. im Jahre 1912 gefunden war (C. R. 154, 1688 Sur les propriétés des fonctions mesurables): jede meßbare Funktion ist bezüglich einer perfekten Menge P stetig, deren Maß sich beliebig wenig von dem Maße desjenigen Intervalles unterscheidet, auf welchem die Funktion f(x) gegeben ist. Diese Eigenschaft der meßbaren Funktionen nennt er “C-Eigenschaft” (Kontinuitäts-Eigenschaft).

Im Kap. II löst der Verf. das Problem der Auffindung der Primitiven zu einer beliebigen meßbaren Funktion, indem er folgenden Satz beweist: für jede meßbare Funktion f(x) gibt es eine stetige Funktion F(x), welche f(x) fast überall (presque partout) zur Ableitung hat. Unter Benutzung dieses Satzes und der Untersuchungen von Fatou (Acta Math. 30) und L. Lichtenstein (J. für Math. 141) löst der Verf. das Dirichletsche Problem für die Kreislinie, auf welcher eine beliebige meßbare Funktion f(θ) gegeben ist: er bildet das Poissonsche Integral für die Primitive F(θ)

P(ϱ,θ)=1 2π 0 2π F(α)1-ϱ 2 1+ϱ 2 -2ϱcos(α-θ)dα

und erhält durch Differentiieren desselben nach θ eine harmonische Funktion, welche sich im Inneren der Kreislinie (ϱ=1) regulär verhält und bei Annäherung an den Rand auf nichtberührenden Wegen fast überall (presque partout) die Werte der gegebenen Funktion f(θ) annimmt.

Im Kap. III fragt der Verf., welche Nebenbedingungen der primitiven Funktion F(x) auferlegt werden müßten, damit sie zum unbestimmten Integrale im Sinne von Lebesgue bzw. Denjoy, der f(x) würde, vorausgesetzt, daß dieselbe summierbar bzw. totalisierbar (sommable, totalisable) ist. Der Verf. stellt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Integrale von Lebesgue bzw. Denjoy auf. Später wurden diese Bedingungen in einer Schrift von Denjoy analysiert (Ann. de l’Éc. Norm. 1916, Mémoire sur la totalisation).

Im Kap. IV behandelt der Verf. das Problem, aus der Gesamtheit aller Primitiven eine Funktion auszuwählen, deren Eigenschaften es erlauben, sie als “unbestimmtes Integral” zu bezeichnen. Das bestimmte Integral ließe sich dann als die Differenz von zwei Werten des unbestimmten definieren. Der Verf. definiert die “N-Eigenschaft” einer stetigen Funktion als die Eigenschaft, auf jeder Menge vom Maße Null eine Menge von Werten vom Maße Null zu haben (Null-Eigenschaft), und stellt das Problem der Existenz der Ableitungen solcher Funktionen auf. Die erwähnte Eigenschaft fand später Anwendung in den Schriften von Banach, Frl. Bari, Menĭšov, Saks und Zareckij über absolutstetige Funktionen und ihre Iterationen.

Im Kap. V studiert der Verf. die den summierbaren Funktionen konjugierten Funktionen. Mit Benutzung der Untersuchungen von L. Lichtenstein und P. Fatou löst er das Problem der Bestimmung der Konjugierten direkt aus den Werten der gegebenen Funktion, wenn dieselbe ein integrierbares Quadrat hat:

g(x)=lim ε=0 1 2π ε π f(x+α)-f(x-α) tgα 2dα·

Im Kap. VI stellt der Verf. das Problem der Bestimmung der Koeffizienten der trigonometrischen Reihe, deren Summe in jedem Punkte bekannt ist. Später wurde dieses Problem von Denjoy mittels eines besonderen, von ihm “totalisation à deux degrés” (C. R. 17 mai 1921) genannten Grenzprozesses gelöst. Das Problem der Bestimmung der Koeffizienten einer trigonometrischen Reihe, welche nur “fast überall” (presque partout) konvergiert, kann bis jetzt als ungelöst betrachtet werden. Diese Betrachtungen bringt der Verf. in Verbindung mit der trigonometrischen Definition der unbestimmten Integrale durch gliedweise Integration einer gegebenen trigonometrischen Reihe.