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Some problems of “Partitio Numerorum”. VI: Further researches in Waring’s problem. (English) JFM 51.0148.01

Die Abhandlung setzt die Untersuchungen der Verff. in I [Gött. Nachr. 1920, 33–54 (1920; JFM 47.0114.02); II [Math. Z. 9, 14–27 (1921; JFM 48.0142.01] und IV [Math. Z. 12, 161–188 (1922; JFM 48.0146.01)] unter Ausnutzung der Methode von V [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 22, 46–56 (1923; JFM 49.0127.03)] fort: Wieder wird Warings Problem der Zerlegung in eine feste Anzahl k-ter Potenzen von nichtnegativen ganzen Zahlen angegriffen, aber anstelle der Zerlegungszahl selbst zunächst ihr (quadratischer) Mittelwert bestimmt. Und diese Methode trägt ein gutes Stück weiter als die bisherigen. Es ergibt sich, daß “fast alle” natürlichen Zahlen Summen von (1 2k-1)2 k-1 +3 nichtnegativen k-ten Potenzen sind, für k=3 und k5; für k=4 ergibt sich die Zerlegungsanzahl 15, und das ist die “wahre” Zahl. Weiterhin sind alle großen ganzen Zahlen Summen von

(1 2k-1)2 k-1 +k+5+(k-2)log2-logk+log(k-2) logklog(k-1)

nichtnegativen k-ten Potenzen (z. B. also 19 Biquadraten).

Der letzte Teil der Arbeit untersucht die Auswirkung einer unbewiesenen Hypothese: daß nämlich die Anzahl der Zerlegungen von n in k nichtnegative k-te Potenzen O(n ε ) für jedes positive ε sei. Die Richtigkeit dieses Satzes würde die schärfsten Folgen für das Waringsche Problem haben; die Mindestzahl von k-ten Potenzen, die für die Zerlegung fast aller ganzen Zahlen ausreichen würde, ließe sich dann genau bestimmen; und alle großen ganzen Zahlen wären Summen von 2k+1 nichtnegativen k-ten Potenzen, wenn k keine Potenz von 2 ist, und in diesem Restfall wenigstens Summen von 4k Potenzen.

11P05Waring’s problem and variants
[1]That is to say, there is a constantA such that more thanAn numbers less thann are sums of 7 cubes. This result is due to Baer (W. S. Baer, Über die Zerlegung der ganzen Zahlen in sieben Kuben, Mathematische Annalen74 (1913), 511-514). · Zbl 02620809 · doi:10.1007/BF01456910
[2]E. Landau, Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen, Göttinger Nachrichten (1912), 687-771 (750).
[3]A. Hurwitz, Über die Darstellung der ganzen Zahlen als Summen vonn-ten Potenzen ganzer Zahlen, Mathematische Annalen65 (1908), 424-427. · Zbl 02640316 · doi:10.1007/BF01456421
[4]See P. N. 4, 179 (Theorem 4). The ground of the inequalityG (k)??(k) being (except fork=4) the existence of a forbidden arithmetical progression, the same inequality holds forG 1 (k).
[5]See P. N. 4, 179, f. n. 28) Compare P. N. 5, 52 (Lemma 10). This point aboutk=4 is overlooked on p. 188 (last sentence).
[6]H. Weyl, Bemerkung über die Hardy-Littlewoodschen Untersuchungen zum Waringschen Problem, Göttinger Nachrichten 1921, 189-192.
[7]E. Landau, Zum Waringschen Problem, Hilbert Festschrift (1922), 423-451 [Math. Zeitschr.12 (1921), 219-247].
[8]This notation means that we sum forq?? and for all values ofp associated with each suchq.
[9]Our mistake there lay in failing to distinguish the two cases.
[10]We owe this observation to Prof. Landau.
[11]P. N. 4, 176, (4. 14) and the equation five lines lower.
[12]P. N. 4, 177, (4. 22).
[13]Compare P. N. 5, 49 (Lemma 5). The argument there is simpler.
[14]P. N. 2, 18.
[15]P. N. 2, 19-21.
[16]Here, and in the formulae which follow, the values of thep’s, which differ from formula to formula, are irrelevant.
[17]P. N. 4, 175.
[18]P. N. 4, 166, Lemma 1.
[19]Compare P. N. 5, 52, Lemma 6.
[20]Thus, ifk=15 andq=22·3·52·72·11,q 1=11,q 2=72,Q=22·3·52.
[21]P. N. 2, 20; P. N. 4, 170.
[22]We use for the moment the notation of P. N. 1, except naturally that, in conformity with the conventions laid down in § 1.1, we writeB instead ofA.
[23]Landau, l. c. 226 (Hilfssatz 2). Zum Waringschen Problem, Hilbert Festschrift (1922), 423-451 [Math. Zeitschr.12 (1921), 219-247].
[24]? is ultimately chosen in three different ways to suit three different arguments. In each case it is chosen as a function ofk ands only. We anticipate this choice and allow ourselves to treat ? as ac.
[25]Compare P. N. 5, 52 (Lemma 10).
[26]Compare P. N. 5, 52 (Lemma 11).
[27]The dash denoting that any term for whichmQ+h=0 is to be omitted.
[28]Landau, l. c 230 (Hilfssatz 4) Zum Waringschen Problem, Hilbert Festschrit (1922), 423-451 [Math. Zeitschr.12 (1921), 219-247].
[29]See P. N. 2, 16-17; Landau, l. c. 241. Zum Waringschen Problem, Hilbert Festschrift (1922) 423-451 [Math. Zeitschr12 (1921), 219-247].
[30]P. N. 4, 179.
[31]We usea momentarily for an indicialA (i. e. an absolutec). We may plainly supposea<1.
[32]It may be shown that no other choice ofs ands? leads to a better value ofs+s?.
[33]This is the special case of (6.31) in whicht=0.
[34]Valid since 15>8+2k.
[35]See P. N. 4, 184, for an analysis of the exceptional cases.
[36]In fact, in the notation of § 7,a s =1 (s?k).