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Mathieu functions. (English) JFM 53.0339.04
Transactions Cambridge 23, 303-336 (1927).

Ausführliche Darstellung der neuerdings vor allem in England vielfach bearbeiteten Theorie der periodischen Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichung, die hier in der Form angenommen ist:

y '' +(4α-16qcos2x)y=0·

Doch scheint mir auch in dieser Arbeit die theoretische Abrundung gegenüber der Ausbildung rechnerischer, insbesondere numerischer Methoden noch etwas zurückzustehen. Der Gang der Entwicklungen ist, abschnittweise verfolgt, etwa dieser: (1) bringt zunächst die Definitionen, und zwar mit einer neuen Normierung der willkürlichen Faktoren durch die Festsetzung

1 2 0 2π ce 0 2 (x,q)dx- 0 2π ce n 2 (x,q)dx= 0 2π se n 2 (x,q)dx=π(n=1,2,)·

Bei der bisher üblichen Forderung, daß der Koeffizient von cosnx bzw. sinnx in der Fourierreihe gleich Eins sei, wird nämlich für gewisse Werte von q die Bestimmung der andern Koeffizienten illusorisch, während bei der neuen Festsetzung dann lediglich das betreffende Glied herausfällt. – (2) Nach Transformation zu μ=cosx als unabhängiger Veränderlicher wird die transzendente Gleichung zwischen α und q in Kettenbruchform aus der Bedingung gewonnen, daß die zugehörige Lösung eine ganze Funktion von μ ist, oder es nach Division mit 1-μ 2 wird. – (3) bringt Reihenentwicklungen der Gestalt

n C n J n kcosx ksinx,k 2 =32q

nach Besselschen Funktionen (für den einfachsten Fall schon von Heine). Die C n erweisen sich als im wesentlichen proportional zu den Fourier-Koeffizienten, und diese Tatsache führt zu einer einfachen Bestätigung der Whittaker-Pooleschen Integralgleichungen. – (4) ist der numerischen Berechnung der charakteristischen Zahlen und der zugehörigen Entwicklungskoeffizienten gewidmet. Es werden fünfstellige Tafeln für diese mitgeteilt, und zwar für ce 0 , ce 1 , ce 2 , se 1 , se 2 , und 37 Werte von q zwischen 0 und 200.

In (5) werden mit Hilfe der Laplaceschen Transformation asymptotische Entwicklungen für die assoziierten Funktionen 1 ise(ix) und ce(ix) (und die zugehörigen zweiten Lösungen) für x hergeleitet. – (6) gibt asymptotische Entwicklungen für große q; diese sind direkt für die eigentlichen Mathieuschen Funktionen aufgestellt (ohne den Inceschen Umweg über die Funktionen der Periode 4π; siehe das folgende Referat, insbesondere die Bemerkung auf S. 300 jener Arbeit). Hieraus folgen auch Näherungswerte für die großen Nullstellen der assoziierten Funktionen, diese in Abhängigkeit von q (bei festem x) betrachtet. In (7) werden die zweiten, nichtperiodischen Lösungen kurz betrachtet; es wird gezeigt, daß sie von der Form xf(x)+g(x) sind wobei f(x) eine Mathieusche Funktion und g(x) wenigstens periodisch ist. (8) enthält Anwendungen, insbesondere auf Schwingungen einer elliptischen Membran und Gezeiten in einem elliptischen See, mit physikalischen Entwickelbarkeits “beweisen”.