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Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen. (German) JFM 54.0056.06

Diese Arbeit enthält einen Beweis dafür, daß eine gewisse zahlentheoretische Funktion nicht durch gewöhnliche Rekursionen definiert werden kann, wenn simultane Rekursionen ausgeschlossen werden; dagegen gelingt die rekurrierende Definition, wenn man einen höheren Variablentypen benutzt. Dieser Satz von Ackermann ist schon von Hilbert in seiner Abhandlung “Über das Unendliche” (F. d. M. 51, 44 (JFM 51.0044.*); insbesondere p. 185, 186 der Arbeit) erwähnt worden. Nach Hilbert können nämlich die zahlentheoretischen Funktionen nach ihrem Typ klassifiziert werden, und zwar nach dem niedrigsten Variablentyp, den man braucht, um eine rekurrierende Definition der Funktion aufzustellen.

Ackermann beweist seinen Satz dadurch, daß er zeigt, daß die betreffende Funktion schneller wächst als jede Funktion des ersten Typs. Dies gelingt durch Induktion: Hat man einen endlichen Bereich von Funktionen des ersten Typs derart, daß jede Funktion darin langsamer wächst als die betreffende Funktion, und leitet man aus den Funktionen des Bereiches neue Funktionen mittels Einsetzungen und Rekursionen nach einer Zahlenvariablen ab und fügt diese hinzu, so erhält man immer wieder einen Bereich derselben Art.

Die Bemerkung am Anfang der Abhandlung, daß Hilbert diese Klassifikation benutzt hat, um den Beweis des Kontinuumsatzes zu erbringen, ist insofern irreführend, als der Leser danach glauben könnte, daß ein solcher Beweis fertig und einwandfrei vorliege. Nicht nur ist das nicht der Fall, sondern es ist schwer verständlich, wie das jemals der Fall werden soll. U. a. kann man sogar fragen, wie die Begriffe, auf die es hier ankommt, das Kontinuum und die zweite Zahlklasse, eigentlich aufzufassen sind; denn nach dem bekannten Löwenheimschen Satze scheint es undenkbar zu sein, daß man jemals imstande sein sollte, etwas absolut Nichtabzählbares finit zu formalisieren.

References:
[1]Siehe des näheren D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Annalen95 (1926).
[2]Eine Arbeit, die mit der vorliegenden manche Berührungspunkte hat, wird von Herrn G. Sudan publiziert werden. Es handelt sich bei ihr um die Definition von Zahlen der zweiten Zahlklasse, die man in ähnlicher Weise klassifizieren kann wie die Definitionen der reellen Zahlen.
[3]Diese von mir aufgestellte Funktion ist schon in der Hilbertschen Abhandlung ?Über das Unendliche? erwähnt; vgl. S. 185 dort.