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Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge. (German) JFM 54.0090.06

Verf. beschäftigt sich mit den Untermengen einer endlichen Menge 𝔐 von n Elementen. Von zwei Untermengen 𝔄 und 𝔅 der Menge 𝔐 heißt 𝔄 Teilmenge von 𝔅 und 𝔅 Obermenge von 𝔄, wenn alle Elemente von 𝔄 in 𝔅 vorkommen. Ein System Σ von Untermengen heißt ausgezeichnet, wenn keine der in Σ vorkommenden Untermengen Teilmenge einer anderen solchen ist. Die Anzahl der Elemente einer Untermenge von 𝔐 nennt Verf. ihre Ordnung; die Anzahl der in einem System von Untermengen von 𝔐 enthaltenen Untermengen heißt sein Grad. Verf. beweist den folgenden Satz: Der Grad eines ausgezeichneten Systems Σ von Untermengen der gegebenen Menge 𝔐 ist stets n n2; das Gleichheitszeichen gilt bei geradem n dann und nur dann, wenn Σ aus sämtlichen Untermengen der Ordnung n 2 besteht, bei ungeradem n dann und nur dann, wenn Σ aus sämtlichen Untermengen der Ordnung n+1 2 oder aus sämtlichen Untermengen der Ordnung besteht.

Der Beweis operiert mit dem folgenden Hilfssatz: m voneinander verschiedene Untermengen k-ter Ordnung der Menge 𝔐 besitzen wenigstens m+1 voneinander verschiedene Teilmengen der Ordnung k-1, wenn k>n+1 2 ist. (III 2.)